Minkowski Addition of Triangles

Geometric modelling of a mixture management manufacturing problem (simultaneous feasibility of two mixtures) yields new polytopes, resulting from the sum of particular triangles, which are called "2- mixtures convex sets" in this context. More generally, the sum of triangles can be considered as a generalization of zonotopes (sum of segments). From this point of view, this study shows that the zone property associated to a zonotope segment is generalized to three "half-zones" associated to each triangle. The combinatorial complexity of these polytopes (the number of faces of the polytopes) with respect to the number of summands, has the same order as that of zonotopes. We also study how to construct such polytopes, and we propose algorithms that are optimal in time. Concerning the particular problem of mixture management, the first non trivial case is that of three components mixtures, which lies in six-dimensional space. Therefore, if a point belongs to the "2-mixtures convex set", then the mixtures are simultaneously feasible. We describe the facets of this polytope in six dimensional space, in order to obtain feasibility conditions for two mixtures. Finally, we study the decomposition of polytopes and we expose main kwon results in this field.La modélisation géométrique d'un problème de gestion de la fabrication des mélanges (faisabilité simultanée de deux mélanges) fait apparaître des polytopes nouveaux résultant de la somme de triangles particuliers qui dans ce contexte sont appelés convexes de 2-mélanges. De façon plus générale, la somme de triangles peut être considérée comme la généralisation des zonotopes (somme de segments). De ce point de vue, l'étude menée ici fait apparaître que la propriété de zone associée à un segment du zonotope se généralise à trois demi-zones associées à chaque triangle; et que la complexité combinatoire (nombre de faces du polytope), par rapport au nombre de sommandes, est du même ordre de grandeur que celle des zonotopes. On traite également le problème de la construction de tels polytopes, des algorithmes optimaux en temps sont proposés. Concernant le problème particulier des mélanges, le premier cas non trivial est celui de mélanges à trois composantes qui nous place en dimension 6. L'appartenance d'un point au convexe de 2-mélanges détermine la faisabilité simultanée des mélanges. Les facettes de ce polytope sont décrites, en détail, dans le cas de la dimension 6, dans le but d'obtenir des conditions de faisabilité des deux mélanges. Le problème de la décomposition de polytopes en somme de Minkowski de polytopes plus simples est exposé, ainsi que les principaux résultats existant