La suite spectrale de Leray-Serre en homologie de Floer des varietes symplectiques compactes a bord de type contact

RAPPORTEURS: Paul SEIDEL, Jean-Claude SIKORAV JURY: Francois LABOURIE, Dietmar SALAMON, Jean-Claude SIKORAV, Claude VITERBOUnlike Floer homology groups for closed manifolds, the Floer homology groups for compact manifolds with contact type boundary have no topological correspondent. The aim of this thesis is to describe their qualitative properties when the manifold is endowed with supplementary topological structure. More specifically, we consider symplectic fibrations (including trivial ones). The first chapter is divided into two parts: the first one compares the different constructions of Floer homology and underlines its specificity for manifolds with boundary, that is the need to obtain a priori estimates on the solutions of Floer's equation. We explain the relationship between Floer homology groups and Weinstein's conjecture and we compute (using a new method) the Floer homology of a ball in a complex vector space. The second part presents an extension of the definition of Floer homology by using asymptotically linear" Hamiltonians. This extension will be used later on. We choose the framework of non-compact manifolds which are convex at infinity, that is symplectic completions of compact manifolds with contact type boundary. The second chapter proves the Künneth formula for a product of manifolds with restricted contact type boundary. This corresponds to a trivial symplectic fibration. The third chapter gives a complete description of the classical Leray-Serre spectral sequence in exclusive Morse homological terms, a simple model for Floer homology. The fourth chapter studies the existence of a spectral sequence of Leray-Serre type for a certain kind of symplectic fibrations over a closed symplectic base. The existence of the spectral sequence is proved for hermitian line bundles of negative curvature. In the general case, its existence is reduced to an energy estimate that we conjecture to be true.Les groupes d'homologie de Floer pour varietes compactes a bord de type contact n'ont pas de correspondant topologique, a la difference des varietes fermees. Le but de cette these est d'en donner des proprietes qualitatives lorsque la variete est munie de structures topologiques supplementaires. Nous avons en vue les fibrations symplectiques (eventuellement triviales). Le premier chapitre de la these comprend deux parties : la premiere compare les differentes constructions de l'homologie de Floer et met en relief le principe specifique aux varietes a bord, a savoir la necessite d'obtenir des estimations a priori sur les solutions de l'equation de Floer. On explique comment les groupes d'homologie de Floer sont relies a la conjecture de Weinstein et on calcule par une methode nouvelle la cohomologie d'une boule dans un espace vectoriel complexe. La deuxieme partie presente une extension de la definition des groupes d'homologie de Floer par des hamiltoniens ``asymptotiquement lineaires", extension que nous utiliserons par la suite. Nous travaillons directement dans des varietes non compactes convexes a l'infini, qui sont des completees symplectiques de varietes compactes a bord de type contact. Le deuxieme chapitre demontre la formule de Kunneth en homologie de Floer pour un produit de varietes a bord de type contact restreint. Ceci correspond au cas d'une fibration triviale. Le troisieme chapitre donne une interpretation de la suite spectrale de Leray-Serre classique en termes exclusifs d'homologie de Morse, qui constitue un modele simple pour l'homologie de Floer. Le quatrieme chapitre etudie l'existence d'une suite spectrale de Leray-Serre pour un certain type de fibrations symplectiques a bord au-dessus d'une base fermee. L'existence de la suite spectrale est etablie pour les fibres en droites hermitiens a courbure negative. Dans le cas general, son existence est ramenee a une estimation d'energie pour trajectoires de Floer, qui est conjecturee