Propriétés de concavité du profil isopérimétrique et applications

Jury : Dominique BAKRY (Professeur, Université Paul Sabatier), Rapporteur; Gérard BESSON (CNRS, Université de Grenoble I), Directeur de thèse; Pierre BERARD (Professeur, Université de Grenoble I); Thierry COULHON (Professeur, Université de Cergy-Pontoise), Président Sylvestre GALLOT (Professeur, Université de Grenoble I); Hervé PAJOT (Professeur, Université de Grenoble I); Antonio ROS (Professeur, Université de Grenade), Rapporteur hors juryWe show that powers of the isoperimetric profile of a closed Riemannian manifold satisfy a family of second order differential inequalities which only depend on its dimension and on a lower bound on the Ricci curvature. Differential concavity properties on the profile, topological restrictions on minimizing regions and comparison theorems arise from these inequalities. For instance, we provide a new proof of Lévy-Gromov inequality. Moreover, most of the previous results can be extended to a more general setting : we endow a Riemannian manifold with its Riemannian distance and with a measure that has a smooth positive density with respect to the Riemannian measure. In this context, we substitute a curvature-dimension assumption for the usual lower bound on the Ricci curvature. Finally, we investigate continuity properties of the isoperimetric profiles associated to a family of closed manifolds that converge towards a closed manifold with respect to Gromov-Hausdorff topology.Nous montrons que les puissances de la fonction profil isopérimétrique, associée à une variété riemannienne fermée, vérifient une famille d'inéquations différentielles non linéaires du second ordre, paramétrées par un minorant de la courbure de Ricci et la dimension de la variété. Nous en déduisons des propriétés analytiques du profil, des renseignements géométriques et topologiques concernant les domaines minimisants et des théorèmes de comparaison et de pincement du profil isopérimétrique. Nous retrouvons en particulier des versions améliorées de l'inégalité de Lévy-Gromov. Ensuite, nous observons que tous ces résultats de comparaison se généralisent au cadre des variétés fermées munies de la distance riemannienne et d'une mesure ayant une densité régulière positive par rapport à la mesure riemannienne, la minoration uniforme sur la courbure de Ricci étant alors remplacée par une hypothèse de type courbure-dimension. Enfin, nous précisons, lorsqu'une suite de variétés compactes converge vers une variété compacte pour la distance de Gromov-Hausdorff, dans quel sens la suite de leurs profils tend vers le profil de la variété limite