Sur les propriétés algébriques et géométriques des groupes de Kac-Moody

Jury: Gérard BESSON (CNRS, Institut Fourier Grenoble); Michel BRION (CNRS, Institut Fourier Grenoble), rapporteur; Marc BURGER (Professeur, ETH Zürich); Shahar MOZES (Professeur, Hebrew University Jerusalem); Frédéric PAULIN (Professeur, E.N.S. Paris), rapporteur; Guy ROUSSEAU (Professeur, Institut Elie Cartan Nancy), Président Alex LUBOTZKY (Professeur Hebrew University Jerusalem), rapporteur hors jury.This text presents a viewpoint from discrete group theory on Kac-Moody groups. Over finite fields, these groups are finitely generated; they act on new buildings with remarkable non-positive curvature properties. We justify that finitely generated Kac-Moody groups can be seen as generalizations of some $S$-arithmetic groups over function fields. We explain how they provide new buildings, and why one can expect that the groups themselves are new. We also consider totally disconnected groups generalizing some semisimple groups over local fields, as illustrated by their combinatorial structure and their topological simplicity. The study of their Furstenberg boundaries is briefly initiated. We sum up the proof of the complete non-linearity of some Kac-Moody groups. This is where we use the properties of the previous topological groups, by combining them with a commensurator super-rigidity theorem. In fact, we can construct groups all of whose linear images are finite, whatever the target field. At last, we make some conjectures about the previously defined groups, for instance the non-linearity (and maybe the abstract simplicity) of a wide class of finitely presented Kac-Moody groups. We also conjecture the abstract simplicity of the geometrically completed Kac-Moody groups, and propose a link between the latter groups and another definition of Kac-Moody groups (constructed as tools in the study of Schubert varieties and in representation theory). We connect these conjectures to work in progress on compactifications of Bruhat-Tits buildings.Ce mémoire présente un point de vue issu de la théorie des groupes discrets sur les groupes de Kac-Moody. Sur les corps finis, ces groupes sont de type fini ; ils opèrent sur de nouveaux immeubles jouissant bien souvent de remarquables propriétés de courbure négative. On justifie que les groupes de Kac-Moody de type fini peuvent être vus comme des généralisations de certains groupes $S$-arithmétiques en caractéristique positive. On explique comment ils fournissent de nouveaux immeubles, et pourquoi on peut s'attendre à ce que les groupes eux-mêmes soient nouveaux. Nous considérons aussi des groupes totalement discontinus généralisant certains groupes semi-simples sur des corps locaux, comme en attestent leurs propriétés combinatoires fines et leur simplicité topologique. L'étude de leurs frontières de Furstenberg est évoquée. Nous résumons la preuve de la complète non linéarité de certains groupes de Kac-Moody. C'est ici que nous utilisons les propriétés des groupes topologiques précédents, en les combinant à un théorème de super-rigidité du commensurateur. En fait, on peut construire des groupes dont toutes les images linéaires sont finies, quel que soit le corps de base à l'arrivée. Enfin, nous conjecturons divers résultats sur les groupes précédemment définis, par exemple, la non linéarité (et peut-être la simplicité) d'une vaste classe de groupes de Kac-Moody de présentation finie. Nous conjecturons également la simplicité abstraite des groupes de Kac-Moody géométriquement complétés, et proposons un lien entre ces groupes et une autre définition des groupes de Kac-Moody (issue de l'étude des variétés de Schubert et de la théorie des représentations). Nous relions ces conjectures à des travaux en cours sur les compactifications d'immeubles de Bruhat-Tits