Analyse mathématique d'équations de semi-conducteurs avec mobilités non constantes et identification des frontières libres dans les jonctions PN

Jury : Catherine Bolley, François Jauberteau, Peter Markowich (Rapporteur), Americo Marrocco (Rapporteur), Abdeljalil Nachaoui (directeur), Nabil Nassif (président)The description of the mechanisms of conduction in the semiconductor devices by drift-diffusion model (DD) leads to a system of three nonlinear partial differential equations strongly coupled. This thesis is composed of three parts. The first is devoted to the setting of the equations and the description of physical parameters as well as the simplification of the model in the case of a junction PN. The second part consists in identifying the depletion region in a junction $pn$. By using the variational inequalities, we show that the problem admits a solution. The numerical originality of this part is the use of the nodes on the free boundaries as unknowns. We propose two algorithms of resolution which we test by using the finite and boundary element methods. In the third part, we are interested in the mathematical analysis of the steady state DD model written with Slotboom variables. We show the existence of a solution, when the laws of mobilities depend on the electric field, by applying the convex analysis techniques. Then, we consider that the term of avalanche is non-zero, we give a priori estimates and we prove an existence result. In order to study the uniqueness, we first expose a condition to be satisfied in order to ensure the uniqueness. This condition is then verified in the case of sufficiently small domain or large enough permittivity. We give a theorem of local uniqueness in the presence of avalanche term and sufficient regularity of solution.La description des mécanismes de conduction dans les dispositifs semi-conducteurs par le modèle dérive-diffusion (DD) mène à un système de trois équations aux dérivées partielles non linéaires fortement couplées. Cette thèse est composée de trois parties. La première est consacrée à la mise en équations et à la présentation des régimes de fonctionnement ainsi que la simplification du modèle dans le cas d'une jonction pn. La deuxième partie consiste à identifier la zone de dépletion dans une jonction PN. En formulant le problème en un problème d'inéquations variationnelles, nous démontrons que le problème admet une solution. L'originalité numérique de cette partie est l'utilisation des noeuds sur la frontière libre comme inconnus. Nous proposons deux algorithmes de résolution que nous testons en utilisant la méthode des éléments finis et la méthode des équations intégrales. Dans la troisième partie, nous nous intéressons à l'étude mathématique du modèle DD à l'état stationnaire dans les semi-conducteurs écrit avec les variables de Slotboom. Nous démontrons l'existence d'une solution, dans le cas où les lois de mobilités dépendent du champ électrique, en appliquant les techniques de l'analyse convexe. Ensuite, nous considérons que le terme d'avalanche est non nul, nous donnons des estimations a priori et nous prouvons un théorème d'existence. Afin d'étudier l'unicité de solutions de notre modèle, nous exposons tout d'abord une condition pour que le système possède au plus une solution. Nous en déduisons des résultats d'unicité dans des cas spécifiques tels que le domaine soit suffisamment petit ou la permittivité soit assez grande. Nous donnons un théorème d'unicité locale dans les cas où le terme d'avalanche est non nul et les changements de conditions aux limites se font à angles droits