L-infini déformations et cohomologie de Hochschild

JURY : Francis SERGERAERT (Université de Grenoble 1), Président; Hubert FLENNER (Université de Bochum, Allemagne); Benoît FRESSE (Université de Lille 1); Siegmund KOSAREW (Université de Grenoble 1), Directeur.In the first part of this thesis, deformations of $L_\infty$-algebras are defined in such a way that the bases of deformations are also $L_\infty$-algebras. A universal and a semiuniversal deformation is constructed for $L_\infty$-algebras whose tangent complex admits a splitting. Furthermore, a minimal $L_\infty$-structure on the cohomology $H$ of a differential graded Lie algebra $L$ and an $L_\infty$-quasi-isomorphism between $H$ and $L$ is constructed explicitly. As an application, it is shown that singularities can be described by $L_\infty$-algebras, and a new proof for the existence of formal moduli spaces for isolated singularities is provided. The second part is an abstract approach to Hochschild (co)homology by means of ``good pairs of categories''. The classical HKR-theorem, wich gives an isomorphism between the n-th Hochschild cohomology of smooth algebras and the n-th exterior power of their module of Kähler differentials is generalized for simplicial, graded commutative algebras in good pairs of categories. This generalization is applied to complex spaces and Noetherian schemes and several theorems on the decomposition of their respective (relative) Hochschild (co)homologies are deduced.Dans la première partie de cette thèse, on définit de déformations des $L_\infty$-algèbres de telle façon que les bases de déformation sont aussi des $L_\infty$-algèbres. Pour les $L_\infty$-algèbres dont le complexe tangent est scindé on construit une déformation universelle et une déformation semi-universelle. Ensuite, on construit explicitement une $L_\infty$-structure minimale sur la cohomologie $H$ d'une algèbre differentielle graduée de Lie $L$ et un $L_\infty$-quasi-isomorphisme entre $H$ et $L$. Comme application, on montre que les singularités peuvent être décrites par les $L_\infty$-algèbres et on donne une nouvelle preuve pour l'existence des espaces formels de module pour les singularités isolées. La deuxième partie contient une approche abstraite de la (co)homologie de Hochschild en utilisant de ``bonnes paires de catégories''. On généralise le théorème HKR classique (qui donne un isomorphisme entre la $n$-ième homologie de Hochschild d'une algèbre lisse et la $n$-ième puissance extérieure de son module de differentielles de Kähler) pour des algèbres simpliciales, graduées commutatives dans de bonnes paires de catégories. On applique cette généralisation aux espaces complexes et aux schémas Noetheriens et on déduit plusieurs théorèmes de décomposition de leurs (co)homologies de Hochschild relatives