Familles Tangentielles et solutions de minimax pour l'équation de Hamilton-Jacobi

Prix ARCONATI-VISCONTI sciences 2005 de la Chancellerie des Universités de ParisThis Thesis is based on two different subjects, tangential familiesand minimax solutions to Hamilton--Jacobi equations, which are related to several classical themes in Singularity Theory, as for instance Envelope Theory, Singularities of Caustics and Wave Fronts, Symplectic and Contact Geometry.The first three chapters are devoted to the study of tangential families and to the classification of their stable and simple singularities, and to their interpretation in the frame of Contact Geometry. The last chapter is devoted to the study of minimax solutions to Hamilton--Jacobi equations and the classification of their generic singularities of small codimension.Cette Thèse porte sur les familles tangentielles et les équations de Hamilton--Jacobi. Ces deux sujets sont reliés à des thèmes classiques en théorie des singularités, comme la théorie des enveloppes, les singularités des fronts d'onde et des caustiques, la géométrie symplectique et de contact. Les premiers trois chapitres de la Thèse sont consacrés à l'étude des familles tangentielles, à la classification de leurs singularités stables et simples, et à leurs interprétation dans le cadre de la Géométrie de Contact. Le dernier chapitre est dédié à l'étude des solutions de minimax pour l'équation de Hamilton--Jacobi, notamment à la classification des leurs singularités génériques de petite codimension