Surfaces de Veech arithmétiques en genre deux: disques de Teichmüller, groupes de Veech et constantes de Siegel-Veech

Composition du jury: Pierre Arnoux (rapporteur), Dominique Cerveau, Yves Guivarc'h, Pascal Hubert, Richard Kenyon (rapporteur), Anton Zorich (directeur)On the moduli spaces of abelian differentials exists a natural action of SL(2,R). Its orbits, called Teichmüller discs, project in the moduli spaces of Riemann surfaces to complex geodesics. Pulling back the form dz of the standard torus by coverings branched over a single point, one obtains the square-tiled surfaces, integer points of the moduli spaces of abelian differentials. We study in detail the Teichmüller discs of integer points of the moduli space of abelian differentials in genus two with a double zero: number of Teichmüller discs for each number of square tiles, and their geometry; algebraic properties of the stabilisers (subgroups of SL(2,Z) which are not congruence subgroups); asymptotic behaviour of the Siegel-Veech constants (coefficients of the quadratic growth rates of closed geodesics) when the number of tiles tends to infinity.Sur les espaces de modules de différentielles abéliennes existe une action naturelle de SL(2,R). Ses orbites, appelées disques de Teichmüller, se projettent dans les espaces de modules de surfaces de Riemann sur des géodésiques complexes. En tirant en arrière la forme dz du tore standard par des revêtements ramifiés au-dessus d'un seul point, on obtient les surfaces à petits carreaux, points entiers des espaces de modules de différentielles abéliennes. Nous étudions en détail les disques de Teichmüller des points entiers de l'espace des modules des différentielles abéliennes en genre deux avec un zéro double: nombre de disques de Teichmüller pour chaque nombre de carreaux, et leur géométrie; propriétés algébriques des stabilisateurs (sous-groupes de SL(2,Z) qui ne sont pas de congruence); comportement asymptotique des constantes de Siegel-Veech (coefficients des taux de croissance quadratiques des géodésiques fermées) lorsque le nombre de carreaux tend vers l'infini