Modélisation, étude mathématique et simulation des collisions

Benoît Desjardins, Examinateur, CEA/DAM Bruno Després, Rapporteur, CEA/DAM & Univ. Paris 6 Laurent Desvillettes, Directeur de Thèse, ENS CachanJean-Michel Ghidaglia, Président du jury, ENS CachanThierry Goudon, Rapporteur, Université Lille 1This thesis deals with the study of complex fluids in Fluid Mechanics, and particularly of sprays (i.e. particles in suspension in a surrounding fluid).The physical quantities are solutions of partial differential equations (PDE). The continuous phase (surrounding fluid) is described by Euler or Navier-Stokes type equations. The dispersed phase is described by a kinetic equation.The first part is devoted to a mathematical study of a coupling between a Vlasov equation, and the isentropic Euler equations, which appears in the modelling of thin sprays. We establish the existence for small time of a regular solution for the Vlasov-isentropic Euler system.Next, we write down the precise kernels corresponding to the complex phenomena of oscillations, breakup and collisions/coalescences.Then, we describe the numerical simulation of a kinetic-fluid coupling in an industrial code (Commissariat à l'Énergie atomique); we especially study the implementation of collisions in the code.A second model of breakup is also presented. This model is more adapted when droplets interact with a pressure wave and have an high Weber number.Finally, we give explicit estimates for the spectral gap of the linearized Boltzmann and Landau operators with hard potentials.Dans ce travail, nous nous intéressons à des problèmes issus de la Mécanique des Fluides et plus particulièrement au cas des aérosols (ou sprays, c'est-à-dire un ensemble de particules en suspension dans un fluide environnant). Les phénomènes physiques mis en jeu sont modélisés par des équations aux dérivées partielles (EDP). La phase continue (fluide environnant) est décrite par des équations issues de la mécanique des milieux continus de type Navier-Stokes ou Euler. La phase dispersée est décrite par une équation cinétique de type Boltzmann.Le premier résultat que nous présentons est consacré à l'étude mathématique d'un couplage entre une équation cinétique de type Vlasov et les équations d'Euler isentropiques. Ces équations modélisent un spray fin. Nous démontrons l'existence en temps petit d'une solution régulière pour le couplage Vlasov-Euler isentropique.Ensuite, nous présentons les équations précises relatives à la modélisation des collisions, coalescences et fragmentations dans un spray.Nous décrivons par la suite la simulation numérique du couplage fluide-cinétique dans un code industriel (Commissariat à l'Énergie Atomique), en particulier l'ajout des phénomènes de collisions.Un deuxième modèle de fragmentation est également présenté. Ce modèle est plus pertinent dans les cas où les particules de la phase dispersée ont un grand nombre de Weber.Enfin, nous présentons un résultat concernant une estimation explicite de trou spectral pour l'opérateur de Boltzmann avec potentiels durs linéarisé, et pour l'opérateur de Landau avec potentiels durs linéarisé