Etude de sup u*inf u pour l'équation de la courbure scalaire prescrite en dimension >= 3 et inégalités de Harnack

We study some apriori etimates of type sup*inf for solutions of scalar curvature equation on open set of R^n. We give some results when the exposant is subcritic and tend to critic Sobolev exposant, the perturbation of the critic exponent apear in our inequality and this result is true in all dimension >=3 with minimal condition on prescribed scalar curvatures. We also study the cases n=3 and 4, without subcritc perturbation. We obtain inequality of type (sup)^(1/3) * inf on any compact set of our open set. In dimension 4, we obtain uniform boundness of the sup if we suppose the min of solutions are uniformly bounded above. The cas when we have a parturbation of the equation by nonlinear term with subcritic terme is also studed and we obtain, in this cas the boudness on any compact set of our product sup * inf. In our work, we look the case of minoration of sup * int product on compact riemannian manifold of dimension >=2, for prescribed scalar curvature equation, we proove that if the scalar curvature is positive and not identiclly vanishing, the product sup * inf have a positive lower bound, in dimension >=3. In dimension 2, we have the same result for sup+inf if we suppose the gradient of prescribed scalar curvature is uniformly bounded. The cas of sphere, this condition is not necessely and the positivity and uniform boundness of prescribed scalar curvature is sufficent.Nous étudions des estimations apriori du type sup *inf pour les solutions de l' équation de la courbure sclaire prescrite dans un ouvert de R^n. Nous donnons des résultats quand l'exposant est sous-critique tendant vers l'exposant critique de Sobolev, la perturbation du à l'exposant sous-critique apparait dans l'estimation a priori, ce résultat est vrai en toute dimension superieure ou egale à 3 avec des conditions minimales sur les courbures scalaires prescrites. Nous etudions aussi les cas n=3 et 4, mais sans avoir de perturnation sous-critique. Nous obtenons des inégalités à priori du type (sup)^(1/3) * inf borné sur tout compact de R^3, alors qu'en dimension 4, si les minimas sont uniformément minorés, les maxims sur tout compact sont uniformément majorés. Nous traitons également, le cas où on a une perturbation de l'équation par un terme non linéaire mais en puissance sous-critique, dans ce cas la majorations du sup* inf est obtenue. Dans notre travail, nous nous occupons de la minoration du sup *inf sur une variété compacte de dimension >=2, pour l'équation de la courbure sclaire prescrite, on prouve que si la courbure sclaire est positive sans etre identiquement nulle, alors il y a majorations du sup*inf. Quand à la dimension 2, le résultat est obtenu sur toute surface de Riemann avec des hypotheses de bornitude uniforme du gradient des courbures scalaires prescrites. Pour le cas de la sphère, cette derniere condition n'est pas imposée, la positivité et bornitude uniforme des courbures scalaires prescrites suffisent