Algorithmique de la réduction de réseaux et <br />application à la recherche de pires cas pour l'arrondi de<br />fonctions mathématiques

Euclidean lattices are a particularly powerful tool for severalalgorithmic topics, among which are cryptography and algorithmicnumber theory. The contributions of this thesis are twofold:we improve lattice basis reduction algorithms, and we introduce a new application of lattice reduction, in computer arithmetic. Concerning lattices, we consider both small dimensions (in dimension one, where the problem degenerates to a gcd calculation, and in dimensions 2 to 4), and arbitrary dimensions, forwhich we improve the classical LLL algorithm. Concerning the application, we make use of Coppersmith's method for computing the small roots of multivariate modular polynomials, in order to find the worst cases for the rounding of mathematical functions, when the function, the rounding mode and the precision are fixed. We also generalise our technique to find input numbers that are simultaneously bad for two functions. These twomethods are expensive pre-computations, but once performed, they help speeding up the implementations of elementary mathematical functions in fixed precision, for example in double precision.Most of the algorithms described in this thesis have been validated experimentally. These implementations are available at the url http://www.loria.fr/~stehle.Les réseaux euclidiens sont un outil particulièrement puissant dansplusieurs domaines de l'algorithmique, en cryptographie et en théoriealgorithmique des nombres par exemple. L'objet du présent mémoire est dual : nous améliorons les algorithmes de réduction des réseaux,et nous développons une nouvelle application dans le domainede l'arithmétique des ordinateurs. En ce qui concerne l'aspect algorithmique, nous nous intéressons aux cas des petites dimensions (en dimension un, où il s'agit du calcul de pgcd, et aussi en dimensions 2 à 4), ainsi qu'à la description d'une nouvelle variante de l'algorithme LLL, en dimension quelconque. Du point de vue de l'application, nous utilisons la méthodede Coppersmith permettant de trouver les petites racines de polynômes modulaires multivariés, pour calculer les pires cas pour l'arrondi des fonctions mathématiques, quand la fonction, le mode d'arrondi, et la précision sont donnés. Nous adaptons aussi notre technique aux mauvais cas simultanés pour deux fonctions. Ces deux méthodes sont des pré-calculs coûteux, qui une fois effectués permettent d'accélérer les implantations des fonctions mathématiques élémentaires en précision fixée, par exemple en double précision.La plupart des algorithmes décrits dans ce mémoire ont été validésexpérimentalement par des implantations, qui sontdisponibles à l'url http://www.loria.fr/~stehle