Théories de jauge en géométrie non commutative et généralisation du modèle de Born-Infeld

Endomorphisms algebras can replace the concept of principal fiber bundle. Gauge theories are reformulated within this algebraic framework and further generalized to unify ordinary connections and Higgs fields. A "noncommutative Maxwell" model is built starting from non trivial fiber bundles thus requiring the development of the notion of Riemannian structure. The tools involved in the study of associative algebras are presented and an algebraic method to characterize the usual Chern-Weil morphism is proposed. Then, current results on symmetric fiber bundles are generalized to noncommutative connections and an extension of the Witten ansatz is given. Finally, a generalization of the Born-Infeld action for noncommutative connections is proposed. The corresponding Lagrangians are non-polynomial and the existence of solitonic solutions is shown on several examples.Les algèbres d'endomorphismes peuvent remplacer la notion de fibré principal. Dans ce cadre algébrique, les théories de jauge sont reformulées et généralisées, unifiant ainsi connexions ordinaires et champs de Higgs. Un modèle de "Maxwell non commutatif" est construit pour des fibrés non triviaux nécessitant le développement de la notion de structure Riemannienne. Les techniques de la géométrie non commutative utiles à l'étude des algèbres associatives sont présentées et une nouvelle méthode permettant d'obtenir le morphisme de Chern-Weil usuel est développée. Ensuite, les résultats d'une étude sur les connexions non commutatives généralisent ceux connus sur les fibrés symétriques; une extension de l'ansatz de Witten est énoncée. Enfin, une action est proposée pour généraliser le modèle de Born-Infeld à des connexions non commutatives. Les Lagrangiens obtenus sont non polynomiaux et on étudie l'existence de solutions de type solitonique sur quelques exemples explicites