Laminations et pavages du demi-plan hyperbolique

This thesis is devoted to the study of dynamical systems associated with tilings of theEuclidean plane or of the Hyperbolic half-plane. A such tiling codes an action of a group ofisometries (namely the group of translations of the plane or the group of affine maps) on a compactmetric space $\Omega$ such that the properties of this action are related with the combinatoricproperties of the tiling. The behaviors of the actions obtained by this way are really various. Insome cases, like for example for the Penrose's tiling, this action is free and minimal. This givesto the set $\Omega$ a structure of a specific lamination called {\it solenoid}. This space islocally the product of a Cantor set with an open subset of the Euclidean (resp. Hyperbolic) plane.In this thesis, we study the statistical behaviors of the orbits for this action. We give acombinatoric characterization of the invariant probability measures and of the harmonic measures ofthe associated solenoid. We observe here a fundamental difference between the Euclidean and theHyperbolic case. Finally, for every integer $r \geq 1$, we give explicit examples of tilings of theHyperbolic half-plane whose the associated dynamical system is a minimal and free action withexactly $r$ ergodic invariant finite measures.Cette th{è}se traite des propri{é}t{é}s des syst{è}mes dynamiques associ{é}s aux pavages du planeuclidien $\R^2$ et du demi-plan hyperbolique \H. Un pavage de $\R^2$ ou de \H, code une actiond'un groupe d'isom{é}tries (soit le groupe des translations du plan, soit le groupe destransformations affines) sur un espace m{é}trique compact $\Omega$ de sorte que les propri{é}t{é}s decette action sont reli{é}es avec les propri{é}t{é}s combinatoires du pavage. Les actions obtenues parcette mani{è}re ont des comportements tr{è}s vari{é}s. Pour certains cas, comme par exemple pour lepavage de Penrose, cette action est libre et minimale. Ceci donne {à} l'espace $\Omega$ une structurede lamination particuli{è}re appell{é}e {\it sol{é}no{\"\i}de}. Localement, cet espace est le produit d'unensemble de Cantor par un ouvert du plan euclidien (resp. hyperbolique). Dans cette th{è}se, nous{é}tudions principalement le comportement statistique des orbites de telles actions. Pour cela nouscaract{é}risons les mesures finies invariantes pour ces actions ainsi que les mesures harmoniques dessol{é}no{\"\i}des associ{é}s. Il apparait des diff{é}rences fondamentales dans les techniques utilis{é}es entrele cas euclidien et le cas hyperbolique. Nous donnons de plus, pour tout entier $r\geq 1$ desexemples explicites de pavages du demi-plan hyperbolique dont le syst{è}me dynamique associ{é} est uneaction libre et minimale poss{é}dant $r$ mesures finies invariantes et ergodiques