Stabilité des systèmes dynamiques non-réguliers, application aux robots marcheurs

Originating in the analysis of non permanent contact between perfectlyrigid bodies, the mathematical analysis of nonsmooth Lagrangiandynamical systems concerns Lagrangian dynamical systems withcoordinates constrained to stay inside some closed sets, what leads tointroduce mathematical tools which are unusual in control theory,velocities with locally bounded variations, measure accelerations,measure differential inclusions to name a few. The control theory forsuch dynamical systems is just beginning to appear and even the basicLyapunov stability theory still needs to be stated.In this work we thus propose to establish some first bases for theLyapunov stability analysis of the nonsmooth dynamical systems. Wewill see that it is possible, provided some additional assumptions, toextend some classical results. We will propose for example a Lyapunovstability theorem and an extension of the LaSalle theorem fordynamical systems described by flows which can undergodiscontinuities.Building on these theorems, we then propose a Lagrange-Dirichlettheorem for nonsmooth Lagrangian dynamical systems by showing thattheir energy can be naturally taken as Lyapunov functions. Based onthese results we are then able to prove the stability of simplecontrol laws for the position and force regulation of a roboticmanipulator and a walking robot without any assumptions on the stateof the contacts. We will also underline the interest of a passivitybased control law for nonsmooth lagrangian dynamical systems.Le cadre des systèmes dynamiques lagrangiens non-réguliers est issu del'analyse des contacts non-permanents entre des solides parfaitementrigides. Il nous amène à travailler avec des outils mathématiquesinhabituels en automatique, comme des vitesses à variations localementbornées, ou des équations différentielles de mesures. L'automatique deces systèmes dynamiques commence tout juste à apparaître et lesthéories élémentaires, comme celle de la stabilité au sens deLyapunov, nécessitent encore d'être établies.Dans ce travail nous proposons donc d'établir les premières basespermettant l'analyse de la stabilité des systèmes dynamiquesnon-réguliers. Nous montrons qu'il est possible, sous réserve parfoisd'hypothèses supplémentaires, d'étendre certains résultats classiques.Nous proposons par exemple un théorème de stabilité au sens deLyapunov et une extension du théorème de LaSalle pour des systèmesdynamiques décrits par des flots pouvant subir des discontinuités.Dans la cas des systèmes dynamiques lagrangiens non-réguliers, cesrésultats de stabilité peuvent s'écrire sous la forme d'un théorème deLagrange-Dirichlet, en montrant que leur énergie correspondnaturellement à une fonction de Lyapunov. Ces résultats sont ensuiteappliqués pour l'étude de la stabilité d'une régulation en position eten force d'un bras manipulateur et d'un robot marcheur sans aucunesupposition sur l'état des contacts. Nous soulignons égalementl'intérêt des commandes basées sur la passivité pour les systèmesdynamiques lagrangiens non-régulier