Géométrie des surfaces :<br />de l'estimation des quantités différentielles locales<br />à l'extraction robuste d'éléments caractéristiques<br />globaux

This research work relates to the geometrical aspects of mathematics and computer sciences.It is motivated by applications such as computer aided design, medical imaging, scientific computationsand simulations or also virtual reality and multimedia. More precisely, this thesisproposes an analysis of some local as well as global topics of the geometry of surfaces.From a local point of view, the problem is the estimation of the normal, the curvatures andquantities of higher order from points sampled on a smooth surface. A method of estimation usingpolynomial fitting is studied: the properties of convergence are established and an algorithmis proposed and implemented.From a global point of view, we analyze the lines of extreme curvature on surfaces, calledridges. For a surface discretized by a mesh, precise sampling conditions are given, and ifthey are fulfilled, an algorithm reporting a certified topological approximation of the ridgesis developed. In the case of a parameterized surface, we show that the ridges have a globalimplicit structure, and we characterize the singularities of this curve in the parametric domainwith zero-dimensional systems. For a polynomial parameterization, these equations are alsopolynomial, and specific methods of computer algebra are developed to compute the topologyof the singular curve of the ridges.Ce travail de recherche porte sur les aspects géométriques desmathématiques et de l'informatique.Il est fortement motivé par des applications telles que la conception assistée par ordinateur,l'imagerie médicale, le calcul scientifique et la simulation ou encore la réalité virtuelle etle multimédia. Plus précisément, cette thèse propose une analyse de la géométrie des surfacestant d'un point de vue local que global.Tout d'abord, étant donnée une surface lisse connue via un échantillonnage, nous étudions leproblème de l'estimation des quantités différentielles locales: normale, courbures et quantitésd'ordre supérieur. Une méthode d'estimation utilisant un ajustement polynomial est développée:les propriétés de convergence sont établies et un algorithme est proposé et implémenté.D'un point de vue global, nous analysons les lignes d'extrême de courbure sur une surface,appelées ridges. Pour le cas d'une surface discrétisée par un maillage, des conditionsprécises d'échantillonnage sont données, et sous ces hypothèses, un algorithme produisant uneapproximation topologiquement certifiée des ridges est développé. Dans le cas d'une surfaceparamétrée, nous établissons que les ridges ont une structure implicite globale, et étudions lessingularités de la courbe associée dans le domaine de paramétrage en termes de systèmes zerodimensionnels.Pour une paramétrisation polynomiale, ces équations sont aussi polynomialeset des méthodes spécifiques de calcul formel sont développées pour calculer la topologie de lacourbe singulière des ridges