Méthodes multiniveau algébriques pour les éléments d'arête. Application à l'électromagnétisme.

The computation of the electric or magnetic field plays a key-role in the design of efficient communication tools, in the electromagnetic compatibility of electronic systems and also in the modelling of the interaction between the field and living tissues. This computation is frequently based on the discretisation of Maxwell's equations by the edge element method. Then, it leads to solve a linear system with a sparse but usually large matrix.The aim of this work is to introduce an algebraic multilevel method for solving linear systems coming from the edge element method. Indeed, iterative multilevel methods generate algorithms which are the most efficient for some classes of partial differential equations. These methods are founded in their geometric version on a hierarchy of nested meshes; however, for realistic applications, this hierarchy cannot be constructed and the levels are then required to be algebraically defined.Our algebraic strategy for defining the coarse levels is founded on the construction of nodal and edge coarse bases, which have to minimise an energy functional. This minimisation problem with constraint is solved by two techniques: for the first one Lagrange multipliers are used, for the second technique a sequence of flow problems in a graph is solved. Some numerical experiments illustrate the performances of the different versions of our method.Le calcul numérique du champ électrique ou magnétique intervient aussi bien dans la mise au point d'outils de communication performants que dans les problèmes de compatibilité électromagnétique des systèmes électriques ou de modélisation de l'interaction champ-vivant. Ce calcul est fréquemment fondé sur la discrétisation des équations de Maxwell par la méthode des éléments finis d'arête. Il conduit alors à la résolution d'un système linéaire creux mais généralement de grande taille.L'objectif de ce travail est de proposer une méthode multiniveau algébrique pour la résolution des systèmes linéaires issus d'une discrétisation par la méthode des éléments finis d'arête. En effet, les méthodes itératives multiniveau construisent des algorithmes qui s'avèrent être les plus performants pour certaines classes l'équations aux dérivées partielles. Ces méthodes s'appuient, dans leur version géométrique, sur une hiérarchie de maillages emboîtés. Cependant pour des applications réalistes cette hiérarchie ne peut pas toujours être construite et il faut définir algébriquement les différents niveaux.La stratégie algébrique de définition des niveaux grossiers que nous proposons repose sur la construction de fonctions grossières nodales et d'arête vérifiant une contrainte de compatibilité. En outre, les fonctions grossières d'arête doivent minimiser une fonctionnelle d'énergie. Ce problème de minimisation avec contrainte est résolu par deux techniques : l'une utilise les multiplicateurs de Lagrange, l'autre s'appuie sur la résolution d'une suite de problèmes de flot dans un graphe. Des expériences numériques illustrent les performances de différentes versions de notre méthode