Quelques problemes de Reflexion-Transmission en optique<br />dispersive faiblement non linaire.

Fin de redaction le 6/10/2006This thesis is devoted to the mathematical study of the nonlinearpropagation of high frequency waves in homogeneous media made of twomaterials with constant refractive index and split up by a straight interface.The interface requires to describe the reflexion-transmissionphenomena at the crossing of the discontinuity. The approach is theGeometric Optics.The studied tyical example is the Maxwell-Lorentz system with addedvarious equations which decribe each media polarization.The novelty in this work comes from the dispersive aspect of theequations and the consideration of the exact boundary equations.In this frame the dispersion relation, or the characteristic variety isnot homogeneous, which implies that the group velocities do depend onthe size of the frequencies, not only on their direction.For boundary value problem, this has the consequence that newcharacteristic phases coming from the nonlinear intercations betweenthe existing phases and the boundary are created. The first chapter sets the problem in an historical and mathematicalcontext. There is also a summary of the three next chapters.The second chapter which is central deals with the Geometric Opticsanalysis for the transmission problem using assymptotic expansion ofany order. There is a precise analysis of the nonlinear generation ofphases at the boundary and a rigorous justification of the expansionapproximation. It also gives a new treatment of the evanescent modes.In the same geometrical context the third chapter tackles the problem ofDffractive Optics looking for approximate assymptotic solutions of anyorder and considering larger times of propagation. Finally, in a fourth chapter one constructs and tests numerical quasilinearly exact 1D schemes for simulating long time propagation (inspace) from a boundary.Cette these est consacre l'etude mathematique de lapropagation non-linaire d'ondes haute-frequence, dans des milieux inhomognes constitues de deux matriaux d'indice de refraction constant etsepares par une interface plane. La presence de l'interface ncessitede decrire les phnomenes de reflexion-transmission a la traverse de ladiscontinuite. L'approche choisie releve de l'optique gometrique.L'exemple typique, etudie, est le systeme d'quations Maxwell-Lorentzcomplete de diverses quations dcrivant la polarisation de chaque milieux.La nouveaute de ce travail vient du caractere dispersif des quationset de la prise en compte des quations de bord exactes.Dans ce cadre la relation de dispersion ou variete caractristique n'est pashomogne ce qui implique une reelle dpendance des vitesses de groupevis-a-vis de la taille des frequences et pas seulement de leur direction.Au niveau du probleme limite ceci a pour consquence la creation denouvelles phases caracterisriques issues des intractionsnon-lineaires des phases existentes avec le bord.Le premier chapitre re-situe la problematique dans un contextehistorique et mathematique. Il y est egalement donne un resume destrois autres chapitres. Le second chapitre, coeur de la these,concerne l'analyse de l'Optique Gomtrique pour le problme detransmission avec des dveloppements assymptotiques tous ordres. Ilcontient une analyse precise de la generation non-linaire des phasesau bord et justifie rigoureusement l'approximation dudeveloppement. Il donne galement un nouveau traitement des modes evanescents. Dans le meme contexte geomtrique, le troisime chapitre aborde leprobleme de l'Optique Diffractive avec la recherche de solutionsassymptotiques approchees a tous ordres pour des temps de propagation plus long. Enfin, dans un quatrieme chapitre sont construits et testes des shemasnumriques 1D quasi linairement exacts pour simuler la propagation (en variabled'espace) en temps long d'ondes issues d'un bord