Existence de solutions et limites asymptotiques des systèmes d'Euler-Poisson et de dérive-diffusion quantique. Applications aux semi-conducteurs et aux plasmas.

This thesis is devoted to two different systems of equations used in the mathematical modeling of semiconductors and plasmas.In a first part, we consider a fluid-dynamical model called the Euler-Poisson system. Using an asymptotic expansion method, we study the limit to zero of the three physical parameters which arise in this system: the electron mass, the relaxation time and the Debye length. For each limit, we prove the existence and uniqueness of profiles to the asymptotic expansion and some error estimates.In a second part, we consider the quantum drift-diffusion model. First, we show the existence of solutions (for a general doping profile) and the quasineutral limit (for a vanishing doping profile), for the transient bipolar model in one-space dimension. Then we prove some new regularity properties for the solutions of the equation obtained in the quasineutral limit. These new properties allow us to also show the positivity of solutions to this equation for times large enough.Cette thèse concerne deux systèmes d'équations différents utilisés dans la modélisation mathématique des semi-conducteurs et des plasmas.Dans une première partie, nous considérons un modèle hydrodynamique appelé système d'Euler-Poisson. En utilisant une technique de développement asymptotique, nous étudions les limites en zéro, dans le cas stationnaire pour un flot potentiel, des trois paramètres physiques de ce système : la masse d'électrons, le temps de relaxation et la longueur de Debye. Pour chacune de ces limites, nous démontrons l'existence et l'unicité des profils ainsi que des estimations d'erreur.Dans une seconde partie, nous considérons le système de dérive-diffusion quantique. Nous démontrons dans un premier temps l'existence de solutions (pour un profil de dopage général) ainsi que la limite de quasi-neutralité (pour un profil de dopage nul), dans le modèle évolutif bipolair uni-dimensionnel. Dans un second temps, nous montrons de nouvelles propriétés de régularité des solutions de l'équation obtenue dans la limite de quasi-neutralité. Ces nouvelles propriétés nous permettent de démontrer, de plus, la stricte positivité des solutions de cette équation pour des temps suffisamment grands