Décomposition algorithmique des graphes

In this thesis, we study two graph decompositions introduced by Roberston and Seymour: the tree-decompositions and the branch-decompositions. Two graph parameters are associated to these decompositions: the treewidth and the branchwidth. We show how these decompositions can be united under a common combinatorial structure; both treewidth and branchwidth correspond to minimal values of parameters on this common structure. Using this parallel we adapt a general algorithm that computes the treewidth of some graphs to the branchwidth. We can apply this new algorithm to graphs of bounded asteroidal number with polynomial number of minimal separators and d-trapezoid circular graphs. We also use this analogy to adapt structural properties of branch-decompositions to tree-decompositions. In the case of planar graphs, we give a topological interpretation of these properties which leads us to a simple proof of a theorem linking the treewidth of a planar graph to the treewidth of its dual. Using this topological point of view, we also give an efficient algorithm to list the minimal separators of a planar graph.Dans cette thèse, nous nous intéressons à deux types de décompositions des graphes introduits par Robertson et Seymour: les décompositions arborescentes et les décompositions en branches. À ces décompositions sont associés deux paramètres des graphes: la largeur arborescente et la largeur de branches. Nous montrons que ces deux décompositions peuvent être vues comme issues d'une même structure combinatoire; les deux paramètres mentionné ci-dessus sont égaux aux valeurs minimales de deux paramètres de cette structure commune. En poussant plus avant cette analogie, nous montrons comment adapter une technique de calcul de la largeur arborescente au calcul de la largeur de branches. Ceci nous permet de calculer la largeur de branches des graphes de nombre astéroïde borné ayant un nombre polynômial de séparateurs minimaux et celle des graphes d-trapézoïdes circulaires. Ce parallèle nous permet aussi d'adapter certains résultats structurels sur les décompositions en branches aux décompositions arborescentes. Dans le cas des graphes planaires, nous interprétons ces propriétés à l'aide d'outils topologiques. De cette façon, nous donnons une démonstration simple d'un théorème de dualité reliant la largeur arborescente d'un graphe planaire et celle de son dual. Ces outils nous permettent aussi d'énumérer de façon efficace les séparateurs minimaux des graphes planaires