Méthodes d'approximation pour la reconstruction de signaux et le redimensionnement d'images

This work addresses the problems of signal reconstruction and image resizing.Reconstruction aims at estimating a function given only (eventually noisy) linear measurements performed on it at discrete locations.For instance, uniform interpolation is the problem of estimating s(t) on the real line, given the values s(k) at the integers k.The proposed approach is original, and consists in performing a quasi-projection in a given linear shift-invariant reconstruction space, such that the decay of the approximation error is maximal as the sampling step tends to zero.We illustrate our method in the 1D, 2D Cartesian and 2D hexagonal cases.We then apply our formalism to the problem of image resizing, for which only non-linear methods are able to correctly synthesize the geometric information to which the human visual system is sensitive.We propose a method called induction, which is simple, fast and efficient.Ce travail porte sur la reconstruction de signaux et le redimensionnement d'images. La reconstruction vise à estimer une fonction dont on ne connaît que des mesures linéaires éventuellement bruitées.Par exemple, le problème d'interpolation uniforme consiste à estimer une fonction s(t), n'en connaissant que les valeurs s(k) aux entiers k. L'approche proposée est originale et consiste à effectuer une quasi-projection dans un espace fonctionnel fixé, en minimisant l'erreur d'approximation lorsque le pas d'échantillonnage tend vers zéro.Les cas 1D, 2D cartésien, et 2D hexagonal sont évoqués. Nous appliquons ensuite notre formalisme au problème de l'agrandissement d'images, pour lequel seules des méthodes non-linéaires s'avèrent à même de synthétiser correctement l'information géométrique à laquelle nous sommes le plus sensibles. Nous proposons une méthode appelée induction, à la fois simple, rapide et performante