Modélisation Mathématique et Simulation Numérique de Systèmes Fluides Quantiques

The PhD thesis is concerned with the study of a new class of quantum transport models: the quantum fluid models derived from the entropy principle. These models have been derived in two articles published in 2003 and 2005 by Degond, Méhats and Ringhofer in the Journal of Statistical Physics, by adapting to the quantum framework the moment method developed by Levermore in the classical framework. This method consists in taking the moments of the Quantum Liouville equation and closing this system by a local equilibrium (or quantum Maxwellian) defined as the minimizer of a quantum entropy with constraints on some physical quantities such as the mass, current, and energy. The main interest of such macroscopic models is their low cost in terms of numerical implementation compared to microscopic models such as the Schrödinger equation or the Wigner equation. Moreover, such models take implicitly into account collisions which are much more difficult to handle with quantum microscopic models. The goal of this thesis is thus to propose numerical methods to implement these models and to test them on some physical devices.We have started in chapter I by proposing a discretization for the most simple of these models which is the Quantum Drift-Diffusion model on a closed domain. We have then decided in chapter II and III to apply this model to electron transport in semiconductors by choosing as open device the resonant tunneling diode. We have then studied in chapter IV the Isothermal Quantum Euler model, before considering in chapter V the study of non isothermal models such as the Quantum Hydrodynamic and the Quantum Energy Transport models. Finally, chapter VI is concerned with a slightly different problem which is the implementation of an asymptotically stable scheme in the semiclassical limit for the fluid formulation of the Schrödinger equation: the Madelung system.Le sujet de la thèse porte sur l'étude d'une nouvelle classe de modèles de transport quantique: les modèles fluides quantiques issus du principe de minimisation d'entropie. Ces modèles ont été dérivés dans deux articles publiés en 2003 et 2005 par Degond, Méhats et Ringhofer dans Journal of Statistical Physics en adaptant au cadre de la théorie quantique la méthode des moments développée par Levermore dans le cadre classique. Cette méthode consiste à prendre les moments de l'équation de Liouville quantique et à fermer ce système par un équilibre local (ou Maxwellienne quantique) défini comme minimiseur d'une certaine entropie quantique sous contrainte de conservation de certaines quantités physiques comme la masse, le courant, et l'énergie. Le principal intérêt des modèles quantiques ainsi obtenus provient du fait qu'étant macroscopiques, ils sont biens moins coûteux numériquement que des modèles microscopiques comme l'équation de Schrödinger ou l'équation de Wigner, et de plus, ils prennent en compte implicitement des effets de collision bien plus difficiles à modéliser à un niveau microscopique. Le but de cette thèse est donc de proposer des méthodes numériques pour implémenter ces modèles et de les tester sur des dispositifs physiques adéquats.Nous avons donc commencé dans le chapitre I par proposer une discrétisation du plus simple de ces modèles qu'est le modèle de Dérive-Diffusion Quantique sur un domaine fermé. Puis nous avons décidé dans le chapitre II et III d'appliquer ce modèle au transport d'électrons dans les semiconducteurs en choisissant comme dispositif ouvert la diode à effet tunnel résonnant. Ensuite nous nous sommes intéressés au chapitre IV à l'étude et l'implémentation du modèle d'Euler Quantique Isotherme, avant de s'attaquer aux modèles non isothermes dans le chapitre V avec l'étude des modèles d'Hydrodynamique Quantique et de Transport d'Énergie Quantique. Enfin, le chapitre VI s'intéresse à un problème un petit peu différent en proposant un schéma asymptotiquement stable dans la limite semi-classique pour l'équation de Schrödinger écrite dans sa formulation fluide: le système de Madelung