Techniques d'intervalles pour la résolution de systèmes d'équations

This dissertation is devoted to solving systems of nonlinear equations. It presents a survey of various theories based on interval computations (interval analysis, modal intervals and constraint programming over the reals) as well as some new results in each of these areas. A special care is brought to the linear case, one of our main field of study. This case is of considerable significance since all nonlinear methods are based upon it. In interval analysis, we give an extension of the Hansen-Bliek method which computes an optimal outer approximation of the solution set of interval linear systems. This extension allows more freedom in the choice of the quantifiers (existential or universal) associated to the coeficients, thus handling a wider variety of problems. A generalization of the LU decomposition based on Kaucher's interval arithmetic is also given. We also propose a new formulation of the modal intervals theory, with the underlying concept of quantified range - a natural generalization of the range of a function. This new approach allows us to introduce Kaucher's arithmetic with a vivid meaning, and not only as an abstract algebraic extension of the classical interval arithmetic. In constraint programming, we study local consistencies with domains represented by unions of intervals. This structure is more adapted to store refinements of domains throughout propagation. We show to which extent arc-consistency can be achieved with this structure.Cette thèse porte sur la résolution numérique de systèmes d'équations non-linéaires. Elle présente des contributions dans trois sous-domaines utilisant le calcul par intervalles : l'analyse par intervalles, les intervalles modaux et la programmation par contraintes. Le traitement des systèmes linéaires est au centre de plusieurs des travaux. Il sert notamment de base à la résolution dans le cas non-linéaire. En analyse par intervalles, nous proposons une extension de la méthode de Hansen-Bliek pour l'approximation extérieure optimale de l'ensemble des solutions d'un système linéaire dont les coefficients varient dans des intervalles. L'extension proposée prend en compte la possibilité de choisir le quanticateur (existentiel ou universel) associé à certains coefficients du système. Cette liberté permet de modéliser un plus large éventail de problèmes linéaires, notamment ceux obtenus itérativement à partir de l'opérateur de Newton (intervalle) généralisé. Une généralisation de la décomposition LU exploitant l'arithmétique de Kaucher est également proposée. Sur les intervalles modaux, nous proposons une construction originale de la théorie qui s'articule autour de la notion d'image quantiée, généralisation naturelle de la notion d'image d'une fonction. La construction proposée présente certains avantages, comme celui de pouvoir donner un sens plus concret à l'arithmétique de Kaucher. En programmation par contraintes, nous étudions de nouvelles cohérences partielles reposant sur la structure d'unions d'intervalles. Cette structure peut être utilisée pour représenter plus nement le domaine des variables dans des systèmes de contraintes numériques. Nous montrons notamment dans quelle mesure, et à quel coût, la propriété d'arc-cohérence peut ainsi être obtenue grâce à cette nouvelle représentation