Etude asymptotique et multiplicité pour l'équation de Sobolev Poincaré

Mention très honorableOn a compact Riemannian manifold of dimension larger than 3,we consider a particular elliptic non linear equation : the Sobolev Poincaré equation. Firstly, we describe the asymptotic behaviour of sequences of solutions of this equation thanks to a fine analysis of the concentration phenomenon. Then we get results of multiplicity of solutions for this equation by introducing isometry invariances. Our method gives also multiplicity results for more classical critical equations like the Yamabe or the Nirenberg equation, and also for overcritical equations. Our work is strongly related to the description of the best constants in functionnal inequalities of Sobolev.Sur une variété riemanienne compacte de dimension supérieure à 3,on considère une edp elliptique non linéaire à exposant critique particulière : l'équation de Sobolev Poincaré. D'une part, nous décrivons le comportement asymptotique d'une suite de solutions de cette équation grâce à une analyse fine de phénomènes de concentration. D'autre part, en imposant des invariances par des groupes d'isométries, nous montrons des résultats de multiplicité de solutions pour cette équation. Notre méthode permet aussi d'obtenir des multiplicités de solutions pour des équations plus classiques provenant du problème deYamabe et de Nirenberg, ainsi que pour des équations à exposants sur critiques. Notre travail est intimement lié à la description des meilleures constantes dans des inégalités fonctionnelles de Sobolev associées aux équations