Le modèle d'Ising dilué : coexistence de phases à l'équilibre, dynamique dans la région de transition de phase

This PhD thesis is concerned with the dilute Ising model, in the region of phase transition. The Ising model is a classical model of statistical mechanics; it has the peculiarity of having two distinct phases at low temperature, which motivated its use for the rigorous study of the phase coexistence phenomenon. Our objective was to extend the description of the phase coexistence phenomenon to the case of random media, that is to say, to the dilute Ising model, when the temperature and the dilution are weak enough for having two phases of opposite magnetization.The thesis is made of four chapters. In a first chapter, we adapt the work of Pisztora to the random media and establish a coarse graining which is compatible with the dilution. In a second chapter, we study in detail the surface tension for that model, for both the Gibbs measure corresponding to a given realization of the media, and the averaged Gibbs measure. We characterize the low temperature limit of both quantities and describe the shape of the corresponding crystals. We show that lower deviations of surface tension happen at surface order and give a lower bound on the rate function with the help of concentration of measure theory. In a third chapter, we describe the phase coexistence phenomenon for both the Gibbs and averaged Gibbs measures. In a fourth and last chapter, we conclude the thesis with an application to the Glauber dynamics, and show that the autocorrelation decays not quicker than an inverse power of time.Cette thèse porte sur le modèle d'Ising dilué, dans la région de transition de phase. Le modèle d'Ising est un modèle classique de la mécanique statistique ; il a la particularité de présenter deux phases distinctes à basse température, ce qui a motivé, entre autres, son utilisation pour l'étude rigoureuse de la coexistence de phases. Notre objectif était d'étendre la description du phénomène de coexistence de phases au cas du milieu aléatoire, c'est-à-dire au modèle d'Ising dilué, lorsque la température et la dilution sont suffisamment faibles pour que deux phases d'aimantation opposées apparaissent.La thèse comporte quatre chapitres. Dans un premier chapitre, nous adaptons les travaux de Pisztora au cas du milieu aléatoire et établissons une procédure de renormalisation compatible avec la dilution. Dans un second chapitre, nous étudions en détail la tension superficielle de ce modèle, pour la mesure de Gibbs correspondant à un milieu fixé, et pour la mesure moyennée. Nous caractérisons la limite à basse température de chacune de ces quantités et décrivons les formes des cristaux correspondants. Nous montrons que les déviations inférieures de la tension superficielle ont un coût surfacique et donnons une borne inférieure sur la fonction de taux à l'aide de méthodes de concentration de la mesure. Dans un troisième chapitre, nous décrivons le phénomène de coexistence de phases, sous la mesure Gibbs et sous la mesure moyennée. Dans un quatrième et dernier chapitre, nous concluons la thèse avec une application à la dynamique de Glauber, et montrons que l'autocorrélation décroît au plus vite comme une puissance inverse du temps