SUR LA REGULARITE DES MINIMISEURS DE MUMFORD-SHAH EN DIMENSION 3 ET SUPERIEURE

In this thesis we study some aspects about the regularity of a minimizer for the Mumford-Shah functional. The story takes place mostly in dimension 3 but some results are still true in higher dimension. The first part is about global minimizers in RN. We prove that if (u;K) is a global minimizer and if K is a cone smooth enough, then u (modulo constants) is a homogenous function of degree 1/2 in R^N\K. Thank to this we can link the existence of a global minimizer and the spectrum of the spherical laplacian in S^N-1\K. A consequence is that there is no global minimizer with K an angular sector in R3. In the second part we prove a regularity theorem near a minimal cone of type P, Y and T. We show that if K is close enough (in distance) to a cone of type P, Y or T in a certain ball, then K is the C^1,alpha image of a P, Y or T in a smaller ball. This is a generalisation of a theorem of L. Ambrosio, N. Fusco and D. Pallara [AFP07]. The technics employed are not specific to dimension 3 and it should be used to prove some results in any dimension for a Mumford-Shah minimizer whenever some regularity result about almost minimal sets would exist.On étudie dans cette thèse certains aspects de la régularité de l'ensemble singulier d'un minimiseur pour la fonctionnelle de Mumford-Shah. On se place principalement en dimension 3 même si certains résultats fonctionnent encore en dimension supérieure. Dans une première partie on étudie les minimiseurs globaux dans R^N et on montre que si (u;K) est un minimiseur global et que si K est un cône assez régulier, alors u (modulo les constantes) est une fonction homogène de degré 1/2 dans R^N\K. Ceci nous permet de lier l'existence d'un minimiseur global et le spectre du laplacien sphérique dans la sphère unité privée de K. Une conséquence est qu'un secteur angulaire stricte ne peut pas être l'ensemble singulier d'un minimiseur global de Mumford-Shah dans R^3. Dans la deuxième partie on montre un théorème de régularité au voisinage des cônes minimaux P, Y et T. On montre que si K est proche (en distance) d'un Y ou d'un T dans une certaine boule, alors K est l'image C^1,alpha d'un P, Y ou d'un T dans une boule légèrement plus petite, ce qui généralise un théorème de L. Ambrosio, N. Fusco et D. Pallara [AFP07]. Les techniques employées ne sont pas exclusives à la dimension 3 et devraient permettre de démontrer des résultats analogues en toute dimension pour un minimiseur de Mumford-Shah, dès lors qu'un résultat de régularité sur les ensembles presque minimaux existerait