Matrices structurées et matrices de Toeplitz par blocs de Toeplitz en calcul numérique et formel

Several problems in applied mathematics require the solving of linear systems with very large sizes, and sometimes these systems must be solved multiple times. In such cases, the standard algorithms based on the Gauss elimination require O (n ^ 3) arithmetic operations to solve a system of size n, and it will be a handicap for the computation. That is why we look for using of the structure to reduce the computation's time. The structure of Toeplitz, Hankel, Cauchy, Vandermonde and other more general structure are very well expoiled to reduce the complexity of solving a linear system to O (n log n ^ 2) arithmetic operations. The two levels structured matrices and especially Toeplitz block Toeplitz (TBT) matrices appear in many applications. The purpose of this work is to find fast algorithms for TBT systems. In this thesis, we describe the difficulties of this problem. We give three fast algorithms, of complexity O (n ^ 3 / 2) operations, for Toeplitz band block Toeplitz band systems. we also give a new method of solving Toeplitz systems by giving a relationship between the solution of a Toeplutz system and syzygies of polynomials in one variable. We generalize this method for TBT matrices and we give a relationship between the solution of such linear system and syzygies of polynomials in two variables.Plusieurs problèmes en mathématiques appliquées requièrent la résolution de systèmes linéaires de très grandes tailles, et parfois ces systèmes doivent être résolus de multiples fois. Dans de tels cas, les algorithmes standards basés sur l'élimination de Gauss demandent O(n^3) opérations arithmétiques pour résoudre un système de taille n, et ce sera un handicap pour le calcul. C'est pour cela qu'on cherche à utiliser la structure pour réduire le temps de calcul. La structure de Toeplitz, de Hankel, de Cauchy, de Vandermonde et d'autre structure plus générales sont bien exploitées pour réduire la complexité de résolution d'un système linéaire à O(n log^2 n) opérations arithmétiques. Les matrices structurées en deux niveaux et surtout les matrices de Toeplitz par blocs de Toeplitz (TBT) apparaissent dans beaucoup des applications. Le but de ce travail est de trouver des algorithmes de résolution rapide pour des systèmes TBT de grande taille. Dans cette thèse, on décrit les difficultés de ce problème. On donne trois algorithmes rapide, en O(n^3/2) opérations, de résolution pour les systèmes de Toeplitz bande par blocs Toeplitz bande. On donne aussi une nouvelle méthode de résolution des systèmes de Toeplitz scalaires en donnant une relation entre la solution d'un système de Toeplitz scalaires et les syzygies des polynômes en une seule variable. On généralise cette méthode pour les matrices TBT et on donne une relation entre la solution d'un tel système linéaire et les syzygies des polynômes en deux variables