Existence, unicité et approximation des équations de Schrödinger stochastiques.

Cette thèse a reçue le prix 2008 de la fondation EADS dans la section "mathématiques et leurs interactions"The "Stochastic Schrödinger Equations" are a non-sual type of stochastic differential equation appearing in Quantum Measurement Theory. Their solutions are called "Quantum Trajectories" and describe the evolution of little quantum open system undergoing indirect continuous measurement.Mathematical and Physical ways, in order to justify the use of such equations, are far from being obvious and intuitiv. On the one hand, one can use non rigorous argument based on heuristic rules. On the other hand, in order to obtain these models in a rigorous way, one must use a heavy analytic machinery (Quantum Filtrage Theory, Conditionnal expectation in Von Neumann Algebra...)In this thesis, we describe a discrete model of quantum measurement from the model of "Quantum ,Repeated Interactions" (developped by Stephane ATTAL and Yan PAUTRAT). The setup is the following. We consider a little quantum system in contact with an infinite chain of identical and independant quantum system (each denoted by H) . Each copy of H interacts (one after the others) with the little system during a time h. After the interaction of the little system with a copy of H, a quantum measurement is performed on H. The sequence of measurement involves a sequence of random modifications of the state of the little system. It is described by a Markov chain depending n the parameter h. It is then shown that Quantum trajectories can be obtained as a continuous limit (h goes to 0) from these Markov chains. Before proving such result, we must treat in details the problem of existence and uniqueness of solutions.With this convergence result, from a physical concrete model, we obtain a intuive and rigorous justification of the use of Stochastic Schrödinger Equations. Afterwards, we obtain the description of model with arbitrary finite dimension and we introduce the notion of Control TheoryLes "équations de Schrödinger stochastiques" sont des équations différentielles stochastiques de type non classique qui apparaissent dans le domaine de la mesure en mécanique quantique. Leurs solutions sont appelées "trajectoires quantiques" et décrivent l'évolution de petits systèmes quantiques ouverts soumis à une mesure continue de type indirecte (on mesure l'environnement qui interagit avec le petit système).Habituellement, les justifications mathématiques et physiques de ces modèles sont loin d'être intuitives et évidentes. Soit elles manquent de rigueur car basées sur des arguments heuristiques, soit elles uilisent des outils mathématiques lourds et très abstraits (Filtrage quantique, espérance conditionnelle dans les algèbres de Von Neumann...).Dans cette thèse, on met en place un modèle discret de mesure en mécanique quantique. Ce modèle est basé sur celui des "interactions quantiques répétées" développé par Stéphane ATTAL et Yan PAUTRAT. Le cadre est le suivant. On considère un petit système en contact avec une chaine infinie de petits systèmes (tous notés H) identiques et indépedants entre eux. Chaque copie H interagit avec le petit système pendant un temps h. Après chaque interaction, on effectue une mesure sur H. Cette série de mesures entraine une série de modifications aléatoires de l'état du petit système. Cette série de modifications est alors décrite à l'aide d'une chaine de Markov dépendante du paramètre h. On montre alors que l'on peut obtenir les trajectoires quantiques, solutions des équations de Schrödinger stochastiques, comme limite continue (h tend vers 0) à partir de ces chaines de Markov. Ce résultat de convergence nécessite, au préalable, une étude complète des problèmes d'existence et d'uncité des solutions.Grâce à ce résultat de convergence, à partir d'un modèle physique discret, on justifie de façon rigoureuse et intuive l'utilisation des équations de Schrödinger stochastiques. On étend ensuite ces résultats dans le cas de modèles en dimension finie quelconque et on introduit la notion de controle