Deux applications du chaos quantique : etude des fonctions d'ondes aleatoires via SLE et description de cavites dielectriques

We studied here two problem of quantum chaos. First we gave another argument for the percolation model in order to describe the nodal lines of a wavefunction of a quantum system whose classical counterpart is chaotic. We described the lines via the Schramm Loewner Evolution process and our numerical results show no contradiction with Smirnov's theorem relating SLE and the critical percolation .Secondly we were interested in dielectric cavities and how to generalize well-known results about billiards to these open systems. We gave the two first terms for the Weyl's expansion of the resonance counting function and generalize the trace formula for these systems. Our results agree with both numerical and experimental data. This thesis show how fundamental the quantum chaos is for very topical issues.Au cours de cette thèse, nous avons étudié deux problèmes spécifiques de chaos quantique. D'abord, nous avons confirmé le modèle de percolation critique pour décrire statistiquement les lignes nodales des fonctions d'onde de systèmes classiquement chaotiques. Dans ce but, les lignes ont été décrites à l'aide d'un processus de Schramm-Loewner et notre étude numérique concorde avec le récent théorème liant ce processus et la percolation au seuil critique. Dans une seconde partie nous avons généralisé les résultats connus en chaos quantique sur les billards fermés aux cavités diélectriques ouvertes. Nous avons donné des formules générales pour une légère pertubation d'une cavité circulaire et proposé une généralisation de formule de trace pour ces systèmes. En particulier nous donnons les premiers termes de la série de Weyl pour compter le nombre de résonances d'une cavité diélectrique. Ces résultats sont en accord avec les mesures expérimentales et nos calculs numériques. Ces deux études montrent le caractère fondamental et transversal des techniques du chaos quantique pour les problèmes actuels