Matrices aléatoires, processus entrelacés, et représentations de groupes

We show a variant of a theorem of Hekman which points out the link between representation theory of compact groups and random matrices with values in the Lie algebra of a connected compact Lie group K, whose law is K-invariant. The classical Lie groups, that we denote K(n), are the sets of n by n unitary matrices with entries in the field of real, complex or the quaternionic numbers. For each of them, we study more particulary two invariant ensembles. The first one is the set k(n), which is the Lie algebra of K(n), equipped with the Gaussian measure. We compute the law of the main minors of a matrix from such an ensemble using the classical branching rules. The second one is a generalisation of the Laguerre unitary ensemble (LUE). We study it using the crystal theory of Kashiwara.In the case when the field is the one of complex numpers, Pickrell has proved that the limit of a consistent familly of measures on k(n) which are K(n)-invariant, is ergodic if and only if it is the law of a linear combination of matrices from the GUE or the LUE. We show that his result hold for the other fields.The generalisation of the LUE is obtained considering sum of rank one random matrices. The study of this perturbations and the one of the main minors allow us to naturally obtain interlaced processes . We show that a large class of them are determinantal and compute their correlation Kernel.Nous démontrons une version d'un théorème d'Heckman permettant de préciser le lien qui unit la théorie des représentations des groupes compacts à celle des matrices aléatoires à valeurs dans l'algèbre de Lie du groupe compact connexe K et dont la loi est K-invariante.Les groupes de Lie classiques, qu'on note K(n), sont les ensembles de matrices unitaires de taille n*n à entrées dans le corps des réels, des complexes ou des quaternions. Pour chacun d'eux, nous étudions plus précisément deux types d'ensembles invariants. Le premier est l'ensemble k(n) - algèbre de Lie de K(n) - muni de la mesure gaussienne. Les règles de branchement classiques nous permettent de calculer la loi des mineurs principaux des matrices de ces ensembles. Le deuxième est une généralisation de l'ensemble unitaire de Laguerre (LUE). Au sein de la théorie des représentations, celle des cristaux de Kashiwara nous permet d'étudier cet ensemble. Pickrell a montré que dans le cas complexe la limite d'une famille consistante de mesures K(n)-invariantes sur k(n) est ergodique si et seulement si elle est la loi d'une combinaison linéaire de matrices indépendantes de type Gaussien ou Laguerre. Nous montrons que son résultat reste vrai pour les autres groupes de Lie classiques.La généralisation du LUE que nous proposons est obtenue en considérant des sommes de matrices aléatoires de rang un. L'étude de ces perturbations et des mineurs principaux fait apparaître des processus entrelacés. Nous montrons qu'une large classe d'entre eux sont déterminantaux et donnons leur noyau de corrélation