Analyse et mise en oeuvre de nouveaux algorithmes en méthodes spectrales

This thesis is composed of three parts. In the first part, we consider the 3D Reynolds Averaged Navier-Stokes model, coupling two turbulent fluids (for instance ocean/atmosphere). We propose a numerical schem and we show its convergence to the unique solution of the model. The second part is devoted to an extension of spectral methods in complex geometries. This method is based an twi ideas: following Nitsche'method, the use of penalization method for Dirichlet boundary conditions, and an approximation of the geometry by pavements using octree(for instance). We give polynomial errors projection and a priori estimates. Finally, we have developed in C++ and validated the method in the FreeFem3d software.Cette thèse est composée de trois parties. Dans la première, nous considérons un système d'équations Reynolds Averaged Navier-Stokes en 3D, modélisant le couplage de deux fluides turbulents ( par exemple, océan/atmosphére). Nous proposons un schéma numérique, et nous montrons sa convergence vers l'unique solution du modèle.La seconde partie est consacrée à une extension des méthodes spectrales dans des géométries complexes. Cette nouvelle méthode s'appuie sur deux idées: traitement des conditions aux limites de Dirichlet par pénalisation, en suivant la méthode de Nitsche, et une approximation de la géométrie par des pavés, en utilisant une octree (par exemple). Nous donnons des erreurs de projection polyômiale et des estimations a priori. Enfin, la dernière partie est consacrée au calucl scientifique où on a implémenté en C++ et validé cette méthode dans le logiciel FreeFem3d