Propriétés théoriques et applications en statistique et en simulation de processus et de champs aléatoires stationnaires

This PhD thesis studies theorical and asymptotic properties of processes and random fields with some applications in statistics and simulation. A first part (Chapter 2, 3 and 4) is devoted to the construction of new models of random fields with a random error, expressed in term of Bernoulli shifts and to give some results about their limit theory. Weak dependence conditions used are proved to be more general than the well known notions such as strong mixing or association. We will study in this part the weak and strong invariance principle, for the random fields of interest. The second part of this thesis will be devoted to study estimation and simulation's problems with two kinds of dependence contexts. In Chapter 5, we first consider the question of texture simulations, with a non parametric resampling scheme for strong mixing random fields. The Chapter 6 is devoted to the construction and the parametric estimation of a new integer valued ARCH time serie. The existence result uses contraction arguments etablished in the first part for random fields and the asymptotic behaviour of parameters estimators, obtained using the (Gaussian) Quasi Maximum Likelihood Estimator (QMLE), is etablished with martingal differences type arguments. Finally, in Chapter 7, we introduce a new estimation procedure for Markovian ARCH models. The principle of this method is to smooth the Gaussian QML. We apply this method to the parametric estimation of LARCH type processes, for which the small values of the conditional variance make dificult to apply the usual QMLE technique.Ce travail doctoral étudie les propriétés théoriques et asymptotiques des processus et des champs aléatoires stationnaires dont se déduisent des applications en statistique et en simulation. Une premi ère partie (Chapitres 2, 3 et 4) a pour objectif de construire des nouveaux modèles de champs aléatoires de type autorégressifs, sous forme de schémas de Bernoulli, et de donner des résultats au sujet de leur théorie limite. Des notions de dépendance faible sont utilisées, plus générale que les notions bien connues de mélange fort ou d'association. Nous envisagerons un principe d'invariance, faible et fort, pour les champs aléatoires considérés. Dans un deuxième temps, nous nous intéressons à quelques problèmes d'estimation dans deux contextes de dépendance bien précis. Nous étudions au Chapitre 5 un problème de simulation de textures dans un contexte de rééchantillonnage pour des champs de Markov fortement mélangeants dans un cadre non paramétrique. Le Chapitre 6 est consacré à la construction et à l'estimation des paramètres d'une nouvelle série chronologique à valeurs entières de type ARCH. La construction est établie en utilisant des arguments de contraction établis dans le cadre des champs aléatoires et le comportement asymptotique des estimateurs des paramètres, obtenus par quasi-maximum de vraisemblance gaussien est fondée sur des arguments de type différence de martingales. Enfin nous présentons au Chapitre 7 une nouvelle méthode d'estimation des paramètres pour des modèles ARCH de type markoviens, mé- thode obtenue en lissant la quasi vraisemblance gaussienne et nous appliquons cette méthode à une série hétéroscedastique de type LARCH pour laquelle les faibles valeurs de la variance conditionnelle rendent dificile l'utilisation de la méthode classique du quasi maximum de vraisemblanc