Equirepartition dans les espaces homogènes

In this work, we study some properties of repartition of sets in homogeneous spaces. We use two different techniques : - first we apply adelic mixing in order to study repartition of sets of rational matrices in a compact real group. We get equirepartition results in an unitary group for sets of rational matrices defined by conditions on denominators of coefficients. This yields a local-global principle for the existence of these matrices. - Second we use some properties of polynomial dynamic, such as Ratner rigidity theorem. This yields equidistribution results for orbits of a lattice of the special linear group on a local field of characteristic 0 in an homogeneous space under this group. We also get an S-arithmetic analogue of a theorem due to Shah in the real case. Third, we focus on a different problem : given a local field k of characteristic 0, and H a finite index subgroup of k * , can we find a Zariski-dense subgroup in SL(n, k) such that all the elements have their whole spectrum inside H ? We are able to answer this question : a sufficient and necessary condition is that either -1 belong to H or n is not congruent to 2 modulo 4.On s'intéresse dans cette thèse à quelques propriétés de répartition d'ensembles dans des variétés homogènes. Nous étudions principalement deux techniques : d'abord nous exploitons des résultats de mélange adélique dûs à Clozel-Oh-Ullmo et à Gorodnik-Maucourant-Oh, pour étudier certains ensembles de matrices rationnelles dans un groupe réel compact (par exemple un groupe orthogonal d'une forme quadratique entière définie positive). On donne des conditions d'existence de matrices dont le ppcm des dénominateurs des coefficients est égal à un entier n et on montre que l'ensemble de ces matrices de « dénominateur n » , dès qu'il est non-vide, s'équirépartit vers la probabilité de Haar dans le groupe réel quand n tend vers l'infini. ensuite, nous utilisons certaines propriétés des dynamiques polynomiales - par exemple le théorème de Ratner sur la rigidité des dynamiques unipotentes dans un espace homogène. Cela nous permet de montrer des résultats d'équirépartition d'orbites d'un réseau du groupe spécial linéaire d'un corps local de caractéristique nulle dans un certain espace homogène sous ce groupe. Ensuite, nous adaptons des techniques de Dani, Margulis et G.Tomanov pour montrer un analogue S-arithmétique d'un résultat d'équirépartition dû à Shah dans le cas réel. Dans un troisième temps, nous abordons un problème un peu différent : étant donné un corps local k de caractéristique nulle, et H un sous-groupe d'indice fini des inversibles de k, nous montrons que le groupe spécial linéaire sur k de dimension n admet un sous-groupe Zariski-dense dont toutes les matrices ont leur spectre inclus dans H si et seulement si -1 est dans H ou bien n n'est pas congru à 2 modulo 4