CERTAINS PROBLEMES SPECTRAUX POUR DES OPERATEURS DESCHRODINGER

THIS PHD THESIS DEALS WITH SOME SPECTRAL PROBLEMS OF SCHRODINGER OPERATORS. WE FIRST CONSIDER THE SEMI-CLASSICAL LIMIT OF THE NUMBER OF BOUND STATES OF UNIQUE TWO-CLUSTER N-BODY SCHRODINGER OPERATOR. THEN WE USE DIRICHLET-NEUMANN BRACKET TO GET SEMI-CLASSICAL LIMIT OF RIESZ MEANS OF THE DISCRETE EIGENVALUES OF N-BODY SCHR¨ODINGER OPERATOR. THE EFFECTIVE POTENTIAL OF N-BODY SCHRODINGER OPERATOR WITH COULOMB POTENTIAL IS ALSO CONSIDERED AND WE FIND THAT THE EFFECTIVE POTENTIAL HAS CRITICAL DECAY AT INFINITY. THUS, THE SCHRODINGER OPERATOR WITH CRITICAL POTENTIAL IS STUDIED IN THIS THESIS. WE STUDY THE COUPLING CONSTANT THRESHOLD OF SCHRODINGER OPERATOR WITH CRITICAL POTENTIAL AND THE ASYMPTOTIC EXPANSION OF RESOLVENT OF SCHRODINGER OPERATOR WITH CRITICAL POTENTIAL. WE USE THAT EXPANSION TO STUDY LOW-ENERGY ASYMPTOTICS OF DERIVATIVE OF SPECTRAL SHIFT FUNCTION FOR PERTURBATION WITH CRITICAL DECAY. AFTER THAT, WE USE THIS RESULT AND THE KNOWN RESULT FOR HIGH-ENERGY ASYMPTOTIC EXPANSION OF SPECTRAL SHIFT FUNCTION TO OBTAIN THE LEVINSON THEOREM.ON ETUDIE DANS CETTE THESE CERTAINS PROBLEMES SPECTRAUX POUR DES OPERATEURS DESCHRODINGER. ON S'INTERESSE D'ABORD A LA LIMITE SEMI-CLASSIQUE POUR LE NOMBRE D'ETATS PROPRESDE L'OPERATEUR DE SCHRODINGER A N CORPS. ON UTILISE ENSUITE LE CROCHET DE DIRICHLET-NEUMANN POUR OBTENIR LA LIMITE SEMI-CLASSIQUE DES MOYENNES DE RIESZ DES VALEURS PROPRES DISCRETES POUR L'OPERATEUR DE SCHR¨ODINGER A N CORPS. ON CONSIDERE EGALEMENT LE POTENTIEL EFFECTIF DE L'OPERATEUR DE SCHRODINGER A N CORPS AVEC POTENTIEL DE COULOMB ET ON OBTIENT QU'IL A UNE DECROISSANCE CRITIQUE A L'INFINI. ON ETUDIE DONC L'OPERATEUR DE SCHRODINGER A POTENTIEL CRITIQUE. ON S'INTERESSE AU SEUIL POUR LA CONSTANTE DE COUPLAGE ET AU DEVELOPPEMENT ASYMPTOTIQUE DE LA RESOLVANTE DE L'OPERATEUR DE SCHRODINGER, PUIS ON UTILISE CE DEVELOPPEMENT POUR ETUDIER LA LIMITE A BASSE ENERGIE DE LA DERIVEE DE LA FONCTION DE DECALAGE SPECTRAL POUR UNE PERTURBATION A DECROISSANCE CRITIQUE. FINALEMENT, ON UTILISE CE RESULTAT AVEC LE RESULTAT CONNU POUR LE DEVELOPPEMENT ASYMPTOTIQUE A HAUTE ENERGIE DE CETTE FONCTION DE DECALAGE SPECTRAL POUR OBTENIR LE THEOREME DE LEVINSON