Perturbations singulières : approximations, stabilité pratique et applications à des modèles de compétition

Chapter 1 recalls Tikhonov's theory for slow-fast systems in case of steady state fast dynamics. Chapter 2 deals with Pontryagin-Rodygin's theorem where the fast dynamics are periodic. We propose a new proof of this theorem emphasizing on its topological features. These results concern bounded time intervals. We indicate in Chapter 3 how the geometrical theory of perturbations treats the case of the oscillating fast dynamics. In Chapter 4, results for unbounded time intervals are established when the fast dynamics converge to a positively invariant compact subset. These results lead to practical stability theorems. Chapter 5 is devoted to the case where the fast equation has cycles with relaxation. A rigorous result describes the slow motion, the proof being based on the stroboscopic method. The theorems are stated in terms of the classical mathematics and proved with the use on non standard analysis tools. Chapter 6 is a study of a fourth-dimensional competition model. Some talks given by Pr. C. Lobry represent the starting point of this work. C. Lobry built a model of 3 species x1, x2 and x3 competing on one single prey specie s, the coexistence of x2 and x3 seeming possible through some numerical simulations, while s and x1 oscillate. We determine the averaged system which describes the slow motion of the couple (x2,x3). We establish sufficient conditions of persistence and we illustrate the results with examples and numerical simulations.Le chapitre 1 rappelle la théorie de Tikhonov pour les systèmes lents-rapides quand la dynamique rapide est stationnaire. Le chapitre 2 examine le théorème de Pontryagin-Rodygin dans lequel la dynamique rapide est périodique. Ce résultat est redémontré en marquant son caractère topologique. Ces résultats concernent les temps finis. Nous indiquons dans le chapitre 3 comment la théorie géométrique des perturbations étudie le cas de la dynamique rapide oscillante. Dans le chapitre 4, des résultats d'approximations pour des temps infinis sont établis quand la dynamique lente converge vers un compact positivement invariant et sont interprétés en termes de stabilité pratique. Le chapitre 5 est consacré au cas où l'équation rapide admet des cycles avec relaxation. Un résultat rigoureux décrit le mouvement lent, la preuve étant basée sur la méthode de stroboscopie. Les résultats sont énoncés dans le cadre des mathématiques classiques mais démontrés à l'aide des outils de l'analyse non standard. Le chapitre 6 est une étude d'un modèle de compétition de dimension 4. Le point de départ se trouve dans des exposés du Pr. C. Lobry qui a construit un modèle où trois espèces x1, x2 et x3 sont en compétition sur une seule proie s, la coexistence de x2 et x3 semblant possible au travers de simulations numériques, pendant que s et x1 oscillent. Nous déterminons le système moyennisé qui décrit l'évolution lente du couple (x2,x3). Nous établissons des conditions suffisantes de persistance et illustrons les résultats par des exemples et des simulations numériques