Quantification conformément équivariante des fibrés supercotangents

This thesis is divided into two parts. 1. Conformally equivariant quantization of supercotangent bundles. We mean by quantization of the supercotangent bundle of a manifold M, a linear isomorphism between the space of superfunctions, fiberwise polynomial, and the space of differential operators acting on spinors over M. In the case of conformally flat manifolds (M,g), we prove the existence and uniqueness of such a quantization, demanding equivariance with respect to the action of conformal transformations of M. 2. On the projective geometry of the supercircle: a unified construction of the super cross-ratio and Schwarzian derivative. We establish, for three supergroups acting on the supercircle, a correspondence between the supergroup, the caracteristic invariants of its action and the associated 1-cocycle, defining so three geometries on the supercircle. The caracteristic invariant of the projective geometry is the super cross-ratio, whose 1-cocycle is the Schwarzian derivative.Cette thèse comprend deux parties. 1. Quantification conformément équivariante des fibrés supercotangents. Nous entendons par quantification du fibré supercotangent d'une variété M, un isomorphisme linéaire entre l'espace des superfonctions polynomiales en les fibres et l'espace des opérateurs différentiels spinoriels sur M. Nous montrons qu'il existe une unique quantification pour les fibrés supercotangents des variétés (M,g) conformément plates, qui soit équivariante sous l'action des transformations conformes de M. 2. Sur la géométrie projective du supercercle: une construction unifiée des super birapport et dérivée schwarzienne. Nous établissons, pour trois supergroupes agissant sur le supercercle, une correspondance entre le supergroupe, les invariants caractéristiques de son action et le 1-cocycle associé, définissant ainsi trois géométries sur le supercercle. L'invariant de la géométrie projective est le super birapport, son 1-cocycle associé étant la dérivée schwarzienne