Bifurcations d'ordre supérieur, cycles limites et intégrabilité

The research of limit cycles for planar polynomial differential systems is historically motivated by Hilbert's 16th problem. This thesis work is devoted to the study of quadratic integrable perturbed systems for which we adapt Jean-Pierre Françoise theoretical algorithm. This algorithm enables to compute the successiv derivatives of the first return map. These derivatives are also called Melnikov functions. First, we investigate a Liénard system presenting a center at the origin. The computation of the first Melnikov function by two different methods ensures the existence of one limit cycle for the perturbed system. In some cases, we are able to compute higher order Melnikov functions and we give conditions for which the system still has a center. The second example arises from an Abel equation mentioned by Liouville having a non hyperbolic singularity with elliptic domain at infinity. We perturb a quadratic normal form that presents this singularity. The computation of the first three Melnikov functions yields the existence of perturbations for which two limit cycles appear. In addition, our results provide some integrable cases and the algebraic nature of higher order Melnikov functions. In the third example, we consider a family of differential systems having either a singularity with two elliptic domains or a center and a singularity with one elliptic domain. We hope to find quadratic perturbations for which the phase portrait presents four limit cycles, two to two nasted. Nevertheless the computation of the first two Melnikov functions only exhibits the existence of perturbations that generate two cycles around one center and a lonely one around the other center.La recherche de cycles limites pour des sytèmes polynômiaux du plan est historiquement motivée par le 16e problème de Hilbert. Les résultats obtenus dans cette thèse concernent des systèmes différentiels quadratiques intégrables perturbés pour lesquels on met en oeuvre une adaptation d'un algorithme théorique proposé par Jean-Pierre Françoise permettant le calcul des dérivées successives de l'application de premier retour, encore appelées fonctions de Melnikov. Le premier exemple étudié est de type Liénard et présente un centre en l'origine. Le calcul par deux méthodes différentes de la première fonction de Melnikov assure l'existence d'un cycle limite pour le système perturbé. Dans certains cas, on calcule les fonctions de Melnikov d'ordre supérieur et on donne des conditions pour lesquelles le système reste à centre. Le second exemple est issu d'une équation d'Abel remarquée par Liouville, dont l'étude des singularités à l'infini fait apparaître une singularité non hyperbolique avec domaine elliptique. On perturbe quadratiquement une forme normale quadratique présentant cette singularité. Le calcul des trois premières fonctions de Melnikov assure l'existence de perturbations faisant apparaître deux cycles limites. D'autre part, on est en mesure de donner certains cas intégrables ainsi que la nature algébrique des fonctions de Melnikov d'ordre supérieur. Dans le troisième exemple, on étudie une famille de systèmes présentant soit une singularité avec deux secteurs elliptiques, soit un centre et une singularité avec un domaine elliptique. On espère trouver une perturbation quadratique générant quatre cycles limites imbriqués deux à deux. L'étude des fonctions de Melnikov jusqu'à l'ordre deux ne révèle cependant que l'existence de perturbations pour lesquelles on a deux cycles autour de l'un des centres et un seul autour de l'autre