Étude mathématique et numérique d'équations hyperboliques non-linéaires : couplage de modèles et chocs non classiques.

This thesis concerns the mathematical and numerical study of nonlinear hyperbolic partial differential equations. A first part deals with an emergent problematic: the coupling of hyperbolic equations. The pursued applications are linked with the mathematical coupling of computing platforms, dedicated to an adaptative simulation of multi-scale phenomena. We propose and analyze a new coupling formalism based on extended PDE systems avoiding the geometric treatment of the interfaces. In addition, it allows to formulate the problem in a multidimensional setting, with possible covering of the coupled models. This formalism allows in particular to equip the coupling procedure with viscous regularization mechanisms, useful in the selection of natural discontinuous solutions. We analyze existence and uniqueness in the framework of a parabolic regularization à la Dafermos. Existence of a solution holds true under very general conditions but failure of uniqueness may naturally arise as soon as resonance occurs at the interfaces. Next, we highlight that our extended PDE framework gives rise to another regularization strategy based on thick interfaces. In this setting, we prove existence and uniqueness of the solutions of the Cauchy problem for initial data in $L^\infty$. The main tool consists in the derivation of a flexible and robust finite volume method for general triangulation which is analyzed in the setting of entropy measure-valued solutions by DiPerna. The second part is devoted to the definition of a finite volume scheme for the computing of nonclassical solutions of a scalar conservation law based on a kinetic relation. This scheme offers the feature to be stricto sensu conservative, in opposition to a Glimm approach that is only statistically conservative. The validity of our approach is illustrated through numerical examples.Cette thèse concerne l'étude mathématique et numérique d'équations aux dérivées partielles hyperboliques non-linéaires. Une première partie traite d'une problématique émergente: le couplage d'équations hyperboliques. Les applications poursuivies relèvent du couplage mathématique de plateformes de calcul, en vue d'une simulation adaptative de phénomènes multi-échelles. Nous proposons et analysons un nouveau formalisme de couplage construit sur des systèmes EDP augmentés permettant de s'affranchir de la description géométrique des frontières. Ce nouveau formalisme permet de poser le problème en plusieurs variables d'espace en autorisant l'éventuel recouvrement des modèles à coupler. Ce formalisme autorise notamment à munir la procédure de couplage de mécanismes de régularisation visqueuse utiles à la sélection de solutions discontinues naturelles. Nous analysons alors les questions d'existence et d'unicité dans le cadre d'une régularisation parabolique autosemblable. L'existence est acquise sous des conditions très générales mais de multiples solutions sont susceptibles d'apparaître dès que le phénomène de résonance survient. Ensuite, nous montrons que notre formalisme de couplage à l'aide de modèles EDP augmentés autorise une autre stratégie de régularisation basée sur l'épaississement des interfaces. Nous établissons dans ce cadre l'existence et l'unicité des solutions au problème de Cauchy pour des données initiales $L^\infty$. À cette fin, nous développons une technique de volumes finis sur des triangulations générales que nous analysons dans la classe des solutions à valeurs mesures entropiques de DiPerna. La seconde partie est consacrée à la définition d'un schéma de volumes finis pour l'approximation des solutions non classiques d'une loi de conservation scalaire basée sur une relation cinétique. Ce schéma présente la particularité d'être stricto sensu conservatif contrairement à une approche à la Glimm qui ne l'est que statistiquement. Des illustrations numériques étayent le bien-fondé de notre approche