Théorèmes limites fonctionnels et estimation de la densité spectrale pour des suites stationnaires.

This works aims at deriving asymptotic results for some distances between the distribution function and the corresponding empirical distribution function of a stationary sequences (Cramér-Von Mises distance or Wasserstein distance), for a large class of dependent random variables, including for some dynamical systems. We first establish, in the second chapter, the moderate deviation principle, for non-adapted stationary sequences of bounded random variables with values in a Hilbert space, under martingale-type conditions. Applications to Cramér-Von Mises statistics, functions of linear processes (important in the study of forecasting problems), and stable Markov chains are given. The third chapter, we give a Central Limit Theorem for ergodic stationary sequences of martingale dierences in L^1. Then, by martingale approximation, we derive a Central Limit Theorem for some ergodic stationary sequences of L^1-valued random variables satisfying some projective criteria. This result allows us to get sufficient conditions to derive the asymptotic behavior of statistics of Wasserstein-type for a large class of dependent sequences. In particular, we give some applications to dynamical systems and causal linear processes. Finally, in order to construct asymptotic confidence intervals for the mean of a stationary sequence, we suggest a smoothed estimator of spectral density. In this last chapter, we give projective-conditions for the convergence in L^1 of a smoothed estimator of spectral density. Moreover, this result allows us via Central Limit Theorem, to get confidence regions for parameters in a parametric regression model.L'objet de ma thèse est l'étude du comportement de certaines distances entre la mesure empirique d'un processus stationnaire et sa loi marginale (distance de type Cramér-Von Mises ou de type Wasserstein), dans le cas de variables aléatoires dépendantes au sens large, incluant par exemple, certains systèmes dynamiques. Nous établissons, dans un second chapitre, un principe de déviations modérées, sous des conditions projectives, pour une suite stationnaire de variables aléatoires bornées à valeurs dans un espace de Hilbert H, que ce soit pour un processus adapté ou non. Parmi les applications, nous avons travaillé, non seulement à l'étude de la statistique de Cramér-Von Mises, mais aussi sur les fonctions de processus linéaires (importantes dans les problèmes de prédiction) et les chaines de Markov stables. Dans le troisième chapitre, nous donnons un Théorème Limite Central pour des suites stationnaires ergodiques de différences de martingales dans L^1. Puis, par une approximation par des différences de martingales, nous en déduisons un Théorème Limite Central pour des suites stationnaires ergodiques de variables aléatoires à valeurs dans L^1, et satisfaisant des conditions projectives. Ceci nous permet d'obtenir des résultats sur le comportement asymptotique de statistiques du type distance de Wasserstein pour une importante classe de suites dépendantes. En particulier, les résultats sont appliquées à l'étude de systèmes dynamiques, ainsi qu'à celle des processus linéaires causaux. Pour finir, afin de construire des intervalles de confiance asymptotiques pour la moyenne d'une suite stationnaire à partir du Théorème Limite Central, nous proposons un estimateur lissé de la densité spectrale. Dans ce dernier chapitre, nous donnons des critères projectifs pour la convergence dans L^1 d'un estimateur lissé de la densité spectrale. Cela nous permet via un Théorème Limite Central d'avoir des régions de confiance pour les paramètres dans un modèle de régression paramétrique