Étude mathématique et numérique du transport d'aérosols dans le poumon humain.

We study the transport of a spray in the upper airways of the human lung. The model is based on the coupling of two partial differential equations respectively coming from fluid mechanics and kinetic theory. The fluid is described through macroscopic quantities (velocity and pressure) by the Navier-Stokes equations, whereas the dispersed phase is described through its phase-space density (pdf, probability density function) by a transport equation (Vlasov or Vlasov-Fokker-Planck). The coupling arises from a two-way interaction between the two phases: the drag force exerted by the fluid on the particles and the retroaction of the whole spray on the fluid. The equations are written in the general case of a moving domain allowing the modelling of a possible movement of the lung airways. The first chapter introduces the model we used for the numerical simulations. It is based on the Vlasov/Navier-Stokes coupling. The numerical scheme we developped is based on an ALE/finite elements method for the fluid together with a particle method for the spray. Furthermore, a point-location algorithm has been implemented in order to locate the particles at each time step. The numerical code is then used in several frameworks. First, we estimate the action of the spray on the fluid via the retroaction. We prove that for data consistant with the commercial nebulizers, the spray possibly acts on the fluid behavior and thus on its own behavior. An other exploitation has been performed collaboratively with a team of INSERM, in Tours, based on experimental in vitro data. Finally, we studied how the movement of the boundary of a tube can influence the capture of particles. Eventually, the two last chapters of this thesis tackle the mathematical analysis of two fluid/kinetic couplings. The first one is the Vlasov/Navier-Stokes system that we already used before. We prove the global existence for weak periodic solutions using a method based on an approximation scheme which is close to the one we used in our numerical study. The second coupling is the Vlasov-Fokker-Planck/Navier-Stokes system for which we obtained the global-in-time existence of classical solutions for smooth data close to an equilibrium. We investigate further regularity properties of the solutions as well as their long time behavior.Dans ce travail, nous nous intéressons au transport des aérosols dans les voies aériennes supérieures du poumon humain. Ce phénomène est modélisé dans notre étude par un couplage d'équations aux dérivées partielles issues de la mécanique des fluides et de la théorie cinétique. Ainsi, le fluide est décrit par des fonctions macroscopiques (vitesse, pression), par l'intermédiaire des équations de Navier-Stokes incompressibles tandis que la phase dispersée est décrite par sa densité dans l'espace des phases, grâce à une équation de transport (Vlasov ou Vlasov-Fokker-Planck). Le couplage effectué est fort, en ce sens qu'il associe à l'aérosol une force de rétroaction correspondant au retour de l'accélération de traînée fournie par le fluide: l'interaction fluide/spray se fait dans les deux sens. Enfin, les équations sont en toute généralité considérées en domaine spatial mobile, ceci afin de tenir compte de l'éventuel mouvement des bronches. Dans un premier chapitre, après quelques rappels concernant l'arbre pulmonaire et les aérosols, nous décrivons le système d'équations de Vlasov/Navier-Stokes pour lequel nous avons développé un schéma d'approximation numérique. Ce dernier aspect est abordé dans le deuxième chapitre. La méthode utilisée consiste en un couplage explicite d'une méthode ALE/éléments finis pour le fluide et d'une méthode particulaire pour la phase dispersée. L'algorithme développé nécessitant une procédure de localisation des particules dans le maillage, celle-ci a également été mise en place. Différentes exploitations du code ont ensuite été réalisées. Une première série de simulations numériques a été effectuée afin d'évaluer l'influence de la rétroaction du spray sur le fluide. On prouve ainsi que, pour des données en cohérence avec les nébuliseurs commerciaux, l'aérosol peut accélérer un fluide au repos et de ce fait influencer son propre mouvement. Une autre exploitation du code a été effectuée en collaboration avec une équipe de l'INSERM, à Tours, à l'aide de données expérimentales in vitro. Enfin, une dernière étude a été réalisée sur un conduit cylindrique présentant une constriction en son centre. Nous avons évalué l'influence du mouvement de sa paroi sur la capture de particules sur cette géométrie. Les deux derniers chapitres de cette thèse traitent de l'analyse mathématique de deux couplages fluides/cinétiques. Le premier de ces couplages est celui de Vlasov/Navier-Stokes, précédemment introduit. On prouve l'existence de solutions faibles globales périodiques du système par une méthode basée sur un schéma d'approximation voisin de celui utilisé lors de l'implémentation numérique. Le deuxième couplage est celui de Vlasov-Fokker-Planck/Navier-Stokes pour lequel nous avons obtenu l'existence de solutions fortes pour des données initiales régulières et proches d'un point d'équilibre. Nous avons ensuite étudié le comportement en temps long de solutions du système et précisé la régularité que celui-ci leur impose