Calculs de plaques fissurées en flexion avec la méthode des éléments finis étendue (XFEM)

This thesis is devoted to the development of numerical methods for cracked plate and shell computations. For this issue, classical methods are based on the Finite Element Method (FEM). Due to the presence of a singularity near the crack tip, the FEM has several drawbacks. Its convergence rate is not optimal. Moreover, if the crack propagates, the domain must be remeshed. A new finite element method, introduced in 1999 and called XFEM, enables to avoid these drawbacks. In this method, the finite element base is enriched by specific shape functions which represent the discontinuity of the material and the crack tip singularity. In consequence, domain and crack are independent and the rate of convergence is optimal. In this thesis, we develop two XFEM formulations adapted to thin plates. These methods have been implemented in the finite element toolbox Getfem++, and tested on benchmark problems where the exact solution is known. The measure of the error shows that XFEM has an optimal rate of convergence, whereas the FEM shows a lower convergence. The other contribution of this thesis deals with the Stress Intensity Factors (SIF) : these variables indicate the risk of propagation of a crack.We propose two original computation methods, based on our XFEM formulations. The first uses the J-integral, and the other provides a direct estimation, without post-treatment.Cette thèse est consacrée au développement de méthodes numériques pour la simulation de plaques et coques fissurées. Pour ce problème, les méthodes classiques sont basées sur la Méthode des Elements Finis (MEF). En raison de la présence d'une singularité en fond de fissure, la MEF souffre de plusieurs défauts. Son taux de convergence n'est pas optimal. De plus, en cas de propagation de la fissure, le domaine doit être remaillé. Une nouvelle méthode d'éléments finis, introduite en 1999 et baptisée XFEM, permet de s'affranchir de ces inconvénients. Dans cette méthode, la base éléments finis est enrichie par des fonctions de forme spécifiques qui représentent la séparation du matériau et la singularité de fond de fissure. Ainsi, domaine et fissure sont indépendants et le taux de convergence est optimal. Dans cette thèse, on développe deux formulations XFEM adaptées à un modèle de plaques minces. Ces méthodes ont pu être implémentées dans la bibliothèque d'éléments finis Getfem++, et testées sur des exemples où la solution exacte est connue. L'étude d'erreur montre que la méthode XFEM possède un taux de convergence optimal, alors que la MEF montre une convergence plus lente. L'autre contribution de cette thèse concerne le calcul de Facteurs d'Intensité de Contraintes (FIC) : ces grandeurs indiquent le risque de propagation de la fissure. Nous proposons deux méthodes de calcul originales, basées sur nos formulations XFEM. La première méthode utilise l'intégrale-J, et la deuxième fournit une estimation directe, sans post-traitement