Modélisation et étude numérique d'écoulements de fluides complexes en micro-fluidique

This thesis deals with complex fluid flows applied to micro-fluidics. Two different studies are conducted : first the case of newtonian fluids with different viscosities mixing in thin micro-channels, and then the case of wormlike micelles flows (non-newtonian fluids). In each case presented we first study the mathematical models in proof in order to determine their physical consistency, an then we perform a numerical analysis on the equation for further applications. In the first part we studied the mixing of newtonian fluids with different viscosities in the Stokes regime. A simplified model is derived from the Stokes model : the Reynolds model. This model reduction is well suited for micro-channels with a large width/height aspect ratio. This thin channel situation is very common in micro-fluidics. The models we finally obtain can be 2D or 2.5D (2D for the pressure, 3D reconstructed velocities) wether the viscosities variations in the "thin" direction are taken into account or not. Moreover, the boundary conditions associated to surface modifications at the top and bottom of the channel (printed roughnesses, slipping material) appear in the reduced models as simple coefficients. An existence result is then given on the reduced 2D model. We developed a numerical method on both 2D and 2.5D models based on a discretization of the equations on a cartesian grid. We then conducted two studies, first in the case of mixing fluids in the setting of a "co-flow" experiment, then we investigated the validity of the suited 2.5D model for channels with a varying height or slip patterned surfaces. The second part of this thesis is dedicated to the study of micro-fluidic flows of wormlike micellar solutions. In a shear flow, this particular kind of fluids tends to spontaneously separate in phases with different rheological properties. These phases are commonly called "shear bands", and the origin of their formation lies in the different conformations possible (aligned conformation, entangled conformation) for the wormlike micelles. A well known model has been shown able to reproduce this shear banding effect : the diffusive Johnson-Segalman model. Despite its interesting behavior in the case of a shear flow, this model is unstable in the case of an elongational flow. It is hence necessary to modify this model by adding a (quadratic) non-linearity in the Johnson-Segalman constitutive law. A numerical method has been developed in order to study this model in various situations. Mainly two problems arise in the numerical analysis of the Stokes/Johnson-Segalman model : first a stability issue due to the explicit coupling between the rheological law and the momentum equation, and then the apparition of spurious oscillations upon the stress tensor. The first problem induces a stability condition on the time step that depends on the rheological parameters of the model, whereas the second problem implies the adding of a mesh-dependent diffusion in the constitutive equation. A first study concerning the formation of shear bands in a straight channel has been conducted. This study allowed us to determine the exact influence of diffusion in the model. A second study concerning 3D simulations of flows in a T-shaped micro-fluidic junction allowed us to understand some non-trivial effects observed in experiments (flow instability, jamming effects).Ce document est consacré à l'étude de quelques écoulements de fluides complexes appliquée à la micro-fluidique. Deux études indépendantes sont effectuées : d'une part l'étude des mélanges de fluides Newtoniens dans des micro-canaux fins, et d'autre part l'étude d'écoulements de Micelles géantes (fluides non-Newtoniens). Dans chaque étude on traite tout d'abord des modèles en détail, puis on effectue une étude numérique des modèles en question. Dans la première partie nous traitons de l'hydrodynamique de mélanges de fluides de différentes viscosités en régime de Stokes. Nous dériverons alors un modèle réduit de type Reynolds à partir modèle complet de Stokes. Cette réduction de modèle est particulièrement adaptée à des écoulements dans des micro-canaux dont le rapport d'aspect largeur/hauteur est important. Les modèles obtenus au final peuvent être 2D ou bien 2.5D (2D pour la pression 3D pour le mélange) selon que l'on souhaite ou non prendre en compte les variations de viscosité dans la direction "fine". De plus, les conditions aux limites en haut et au fond du canal pour le modèle complet (canal à reliefs, motifs de matériaux glissants) apparaissent dans le modèle réduit comme de simples coefficients de résistance à l'écoulement. Un résultat d'existence de solution est donné pour le modèle 2D. Une méthode numérique est alors donnée pour approcher ces modèles. Cette méthode numérique est basée sur une discrétisation des équations sur une grille cartésienne, ce qui permet une résolution rapide des systèmes linéaires obtenus après discrétisation. Deux études numériques sont alors menées, tout d'abord une étude de l'inter-diffusion de deux fluides dont les viscosités sont différentes dans des expériences dites de "co-flow", puis une autre étude sur des écoulements mono-fluides pour des canaux à reliefs et à surfaces glissantes utilisant des modèles 2.5D adaptés. La deuxième partie de ce document est consacrée à l'étude d'écoulements micro-fluidiques de micelles géantes en solution. Ce type particulier de fluide a tendance à former spontanément dans l'écoulement des phases dont les propriétés mécaniques peuvent être très différentes. Ces phases sont appelées communément "bandes de cisaillement", et l'origine de la formation de ces bandes de cisaillement tient dans les différentes conformations (conformation alignée, conformation enchevêtrée) possibles pour les micro-structures formant ces fluides. Un modèle particulier a été étudié pour décrire de tels écoulements : le modèle de Johnson-Segalman diffusif. Ce dernier permet de rendre compte de la transition entre phase alignée et phase enchevêtrée lorsque l'écoulement est cisaillé. Toutefois, ce modèle a un comportement instable dans un écoulement possédant un composante d'élongation suffisamment forte. Il est donc nécessaire de modifier le modèle par l'ajout d'une non-linéarité (quadratique) dans la loi de comportement. Une méthode numérique a ensuite été développée afin d'étudier le modèle dans diverses situations. Deux problèmes ont été mis en lumière dans l'analyse numérique des équations : un problème de stabilité lié au couplage nécessaire entre la loi de comportement du fluide et la loi de conservation de la quantité de mouvement, et un problème d'oscillations parasites sur la contrainte. Le premier problème peut être résolu par la détermination d'une nouvelle condition de stabilité sur le système, et le deuxième par l'ajout systématique d'un terme de diffusion dans les équations. Une première étude concernant la formation de bandes de cisaillement dans un canal droit a alors été menée. Cette étude a permis en particulier de déterminer le rôle exact de la diffusion dans le modèle. Une deuxième étude concernant des écoulements 3D dans des jonctions micro-fluidiques en T a permis de mieux comprendre les phénomènes étranges observés sur la répartition des débits dans les branches de sortie de ces jonctions