Un schéma éléments finis non-conformes / volumes finis pour l'approximation en maillages non-structurés des écoulements à faible nombre de Mach

We describe in this thesis a numerical scheme for the approximation on unstructured meshes of a system of equations coupling the « low Mach » Navier-Stokes equations with balance equations for scalar variables. The main contribution of this word is the implementation of a stable approximation of the velocity prediction discretized using nonconforming finite elements, and the design of a finite volume scheme being stable and robust towards the maximum principle for scalar balance equations. The Galerkin approximation of Navier-Stokes equations velocity prediction step is particularly sensible to convection-dominated regimes and boundary layers. Using low-order nonconforming finite elements satisfying the discrete inf-sup criterion, we developed an approximation of inertial terms for general hexahedral or tetrahedral grids. This approximation fulfills an energy inequality and enables the discrete control of kinetic energy variation by viscous dissipation. In the design of a finite volume scheme for the approximation of convection-diffusion equations, we are confronted to the necessity of managing with potentially unstructured or nonconforming grids while fulfilling a discrete maximum principle. We also proposed a new coupling of finite volume schemes for the convection-diffusion equation. All implementations of these schemes have been validated on real interest cases for the simulation of turbulent reactive flows.Nous développons dans cette thèse un schéma numérique pour la résolution sur des maillages non-structurés d'un système d'équations couplant les équations de Navier-Stokes dites ”à faible nombre de Mach” à un ensemble d'équations de bilan pour des quantités scalaires. La contribution principale de la thèse est le développement d'une approximation stable de la prédiction de vitesse discrétisée par éléments finis non-conformes et la mise au point d'un schéma par volumes finis qui soit à la fois stable et robuste vis-à-vis du principe du maximum pour les équations de bilan scalaires. L'approximation de Galerkin de la prédiction de vitesse des équations de Navier-Stokes est particulièrement sensible aux régimes à convection dominante et aux couches limites. Nous avons ainsi développé, pour des maillages quelconques en hexahèdres ou tétrahèdres et en maillage structuré axisymétrique, une approximation des termes d'inertie par des éléments finis non conformes de bas degré satisfaisant la condition de compatibilité inf-sup discrète qui respecte une inégalité d'énergie et permet le contrôle au niveau discret de la variation d'énergie cinétique par la dissipation visqueuse. Dans la définition d'un schéma volumes finis pour l'approximation des équations de convection-diffusion, nous sommes confrontés à la nécessité de s'adapter à des maillages potentiellement non-structurés voire non conformes et de respecter un principe de maximum discret. Nous avons donc proposé un couplage nouveau de schémas volumes finis pour l'équation de convection-diffusion. Tous les développements effectués sont enfin validés sur des cas concrets d'intérêt pour la simulation des écoulements turbulents réactifs