Application de la transformée en nombres entiers à la conception d'algorithmes de faible complexité pour l'annulation d'échos acoustiques

The principal objective of our study is to evaluate the posibility of an acoustic canceler system development in real time. To reduce the computational cost of this system, we looked further into the mathematical bases of the Number Theoretic Transform (NTT) which is meant to find more and more various applications in signal processing. We introduced more particularly the Fermat Number Transform (FNT), which, compared to the Fast Fourier Transform (FFT), allows reduction of several multiplications which are necessary to achieve certain functions such as convolution products. To highlight this transformation, we proposed and studied new algorithms for echo cancelers of low complexity, which we treated by blocks and made robust before implanting them using the FNT. The result of this implementation, compared to an implemetation by the FFT, has shown a strong reduction in the number of multiplications along with an increase in the number of classical operations. To reduce this rise, we proposed a new technique of the transform, entitled Generalized Sliding FNT (GSFNT), which consists in calculating the FNT of a succession of sequences that differ from a certain number of samples from one to another. The numerical simulations show that a GSFNT-based echo canceler helps to remedy the increase in the number of classical operations observed by FNT-based echo canceler. Finally, the implementation of algorithms for echo canceler and through a new procedure of Multi-Delay Filter (MDF) algorithm associated with the new method for the step-size adaptation coefficient, has permitted a significant reduction in the computational complexity.Le principal objectif de notre étude est d'évaluer la possibilité d'un développement en temps réel d'un système d'annulation d'écho acoustique. Pour réduire le coût de calcul de ce système, nous avons approfondi les bases mathématiques de la transformée en nombres entiers (NTT : Number Theoretic Transform) qui est amenée à trouver des applications de plus en plus diverses en traitement du signal. Nous avons introduit plus particulièrement la transformée en nombres de Fermat (FNT : Fermat Number Transform) qui permet une réduction, par rapport à la FFT (Fast Fourier Transform), des nombres de multiplications nécessaires à la réalisation de certaines fonctions telles que les produits de convolution. Pour mettre en évidence cette transformée, nous avons proposé et étudié de nouveaux algorithmes d'annulation d'écho de faible complexité que nous avons traités par blocs et rendus robustes avant de les implanter au moyen de la FNT. Le résultat de cette implantation, comparée à une implantation par la FFT, a montré une forte réduction du nombre de multiplications accompagnée d'une augmentation du nombre d'opérations classiques. Pour réduire cette augmentation, nous avons proposé une nouvelle technique de la transformée, intitulée Generalized Sliding FNT (GSFNT). Celle-ci consiste à calculer la FNT d'une succession de séquences qui diffèrent d'un certain nombre d'échantillons l'une de l'autre. Le résultat des simulations des performances de ces algorithmes d'annulation d'écho, traités au moyen de cette technique, a montré que celle-ci permet de pallier à l'augmentation du nombre d'opérations classiques observée lors d'une implantation en FNT. Enfin, l'implantation des algorithmes d'annulation d'écho en FNT et par une nouvelle procédure de l'algorithme MDF (Multi-Delay Filter ) associée à la nouvelle méthode de calcul du pas d'adaptation, a permis une réduction significative de la complexité de calcul