Géométrie non-commutative, théorie de jauge et renormalisation

Thèse effectuée en cotutelle au Département de Mathématique de l'Université de Münster (Allemagne)Nowadays, noncommutative geometry is a growing domain of mathematics, which can appear as a promising framework for modern physics. Quantum field theories on "noncommutative spaces" are indeed much investigated, and suffer from a new type of divergence called the ultraviolet-infrared mixing. However, this problem has recently been solved by H. Grosse and R. Wulkenhaar by adding to the action of a noncommutative scalar model a harmonic term, which renders it renormalizable. One aim of this thesis is the extension of this procedure to gauge theories on the Moyal space. Indeed, we have introduced a new noncommutative gauge theory, strongly related to the Grosse-Wulkenhaar model, and candidate to renormalizability. We have then studied the most important properties of this action, and in particular its vacuum configurations. Finally, we give a mathematical interpretation of this new action in terms of a derivation-based differential calculus associated to a superalgebra. This work contains among the results of this PhD, an introduction to noncommutative geometry, an introduction to epsilon-graded algebras, defined in this thesis, and an introduction to renormalization of scalar (wilsonian and BPHZ point of view) and gauge quantum field theories.De nos jours, la géométrie non-commutative est un domaine grandissant des mathématiques, qui peut apparaître comme un cadre prometteur pour la physique moderne. Les théories quantiques des champs sur des "espaces non-commutatifs" ont en effet été très étudiées, et sont sujettes à un nouveau type de divergence, le mélange ultraviolet-infrarouge. Cependant, une solution a récemment été apportée à ce problème par H. Grosse et R. Wulkenhaar en ajoutant à l'action d'un modèle scalaire sur l'espace non-commutatif de Moyal, un terme harmonique qui la rend renormalisable. Un des buts de cette thèse est l'extension de cette procédure aux théories de jauge sur l'espace de Moyal. En effet, nous avons introduit une nouvelle théorie de jauge non-commutative, fortement reliée au modèle de Grosse-Wulkenhaar, et candidate à la renormalisabilité. Nous avons ensuite étudié ses propriétés les plus importantes, notamment ses configurations du vide. Finalement, nous donnons une interprétation mathématique de cette nouvelle action en terme de calcul différentiel basé sur les dérivations, associé à une superalgèbre. Ce travail contient, outre les résultats mentionnés ci-dessus, une introduction à la géométrie non-commutative, une introduction aux algèbres epsilon-graduées, définies dans cette thèse, et une introduction à la renormalisation des théories quantiques de champs scalaires (point de vue wilsonien et BPHZ) et de jauge