Méthodes de type Galerkin discontinu pour la propagation des ondes en aéroacoustique

This work is devoted to the numerical solution of three-dimensional linearized Euler equations around steady-state, smooth, subsonic flows. In order to get symmetric matrices for these equations and, in fine, an energy balance equation, we consider the linearization of symmetrized Euler equations. We propose a non-dissipative Discontinuous Galerkin Time-Domain (DGTD) method which relies on an element-centered formulation with centered numerical fluxes and an explicit leap-frog time scheme, leading to a dissipation-free approximation and allowing an accurate estimation of the aeroacoustic energy variation. Indeed, in the general case of the linearization around a non-uniform flow, a balance equation with source term for the aeroacoustic energy is also verified at the discrete level. We show that there exists a discrete source term such that the energy is exactly conserved and the stability of the scheme can be proved. Therefore the non-dissipative DGTD method provides an accurate tool for controlling phenomena like Kelvin-Helmholtz instabilities. We illustrate the efficiency of our method on many academic test cases as well as on various complex configurations thanks to a parallel implementation.On s'est intéressé dans ce travail à la résolution numérique des équations d'Euler linéarisées autour d'un écoulement stationnaire, subsonique et assez régulier. Dans le but d'obtenir des matrices symétriques dans ces équations, et in fine, une équation d'équilibre énergétique, nous considérons la linéarisation d'une forme symétrique des équations d'Euler tridimensionnelles. Nous proposons un schéma non-diffusif de type Galerkin discontinu en domaine temporel (GDDT) s'appuyant sur une formulation centrée-élément avec des ux numériques totalement centrés et un schéma en temps explicite de type saute-mouton, ce qui permet d'obtenir une approximation sans dissipation et fournit une estimation précise des variations de l'énergie aéroacoustique. En effet, dans le cas général de la linéarisation autour d'un écoulement non-uniforme, il existe une équation d'équilibre énergétique au niveau continu que nous vérifions au niveau discret. Nous montrons qu'il existe un terme source discret permettant de conserver exactement l'énergie ce qui permet de prouver la stabilité de notre schéma. Ainsi, notre schéma non-diffusif de type GDDT fournit un outil précis pour contrôler des phénomènes tel que les instabilités de Kelvin-Helmholtz. Nous illustrons la capacité de notre méthode aussi bien sur plusieurs cas tests académiques que sur différentes configurations complexes grâce à une implémentation parallèle