Contributions au calcul exact intensif

Scientific computing is often associated with numerical computation. Yet in many scientific disciplines it is necessary to go beyond the approximations: need for certification of results, computation over discrete mathematical structures, numerical algorithm instability. Computer algebra therefore strive to give accurate or certified results. Now, the main obstruction to the use of symbolic computation is often the poor performance of commercial systems even on fundamental operations such as linear algebra. The goal of this work is to reduce the gap between exact and numerical computations, both in the algorithm and the software sides. The challenges are numerous: developing an effective arithmetic for discrete structures; designing algorithms with optimal leading terms of complexity, taking into account the growth of intermediate data; transcribing these algorithms in software that combines perennial efficiency, interfacing and genericity.Le calcul scientifique est souvent associé au calcul numérique. Pourtant dans de nombreuses disciplines scientifiques il est nécessaire d'aller au-delà du calcul approché : nécessité de certification des résultats, calculs dans des structures mathématiques discrètes, instabilité des algorithmique numériques. Le calcul exact s'attache donc à donner des résultats exacts ou certifiés. Cependant, la principale obstruction à l'utilisation du Calcul Formel est bien souvent les faibles performances des systèmes commerciaux y compris pour les opérations fondamentales comme l'algèbre linéaire. L'objectif de ces travaux est donc de réduire l'écart entre le calcul exact et le calcul numérique, tant sur le plan algorithmique, que sur le plan logiciel. Les défis sont multiples : développer une arithmétique efficace dans les structures discrètes ; concevoir des algorithmes ayant un terme dominant de complexité optimal même en tenant compte de la croissance des données intermédiaires ; transcrire ces algorithmes dans des logiciels combinant efficacité pérenne, interfaçage et généricité