Simulation du mouvement brownien et des diffusions

L'objet de cette thèse est l'étude de la simulation numérique de certains processus stochastiques, les diffusions, dont le mouvement brownien est un exemple typique. Nous commençons par quelques rappels sur le mouvement brownien au chapitre 1. Il s'agit d'une présentation élémentaire, qui s'appuie sur la simulation numérique, et permet de rappeler quelques propriétés classiques. Puis nous présentons au chapitre 2 une simulation alternative du mouvement brownien, en un sens plus naturelle, qui s'attache davantage à son comportement spatial que les méthodes traditionnelles. Le mouvement brownien est simulé à des instants aléatoires qui gouvernent son comportement; ce sont les temps de sortie de certaines "boîtes noires". En choisissant la taille et la position de ces boîtes noires dans l'espace, et sous réserve qu'elles se chevauchent, on peut ainsi simuler très précisément une trajectoire brownienne. La suite de la thèse est consacrée à l'analyse numérique des équations différentielles stochastiques (E.D.S) et à la simulation informatique de leur solution. Nous commençons au chapitre 3 par une introduction qui rappelle ce que sont les E.D.S, cite quelques unes de leurs propriétés et applications classiques dans les sciences de l'ingénieur. Au chapitre 4 nous présentons un résultat de convergence trajectorielle du schéma d'Euler en en précisant l'ordre de convergence. Un résultat similaire est présenté pour le schéma de Milshtein au chapitre 5. Comme on peut s'y attendre, ce schéma est plus performant que le schéma d'Euler, quand la condition classique de commutativité est vérifiée. Ceci améliore partiellement un résultat de Denis Talay. On étudie ensuite au chapitre 6 une classe de schémas de discrétisation à pas variables permettant une approximation spatiale des diffusions dans l'esprit du chapitre 2. Nous commençons par un résultat assez général de convergence d'un schéma d'Euler défini le long d'une subdivision aléatoire. Dans le cas où cette subdivision est gouvernée par les temps de passage successifs du mouvement brownien, nous retrouvons et étendons partiellement des travaux de Nigel Newton. Dans le cas où cette subdivision de façon à ce que les accroissements du schéma de discrétisation soient constants, nous étudions un schéma de discrétisation originalement présenté par Bichteler. Nous précisons sa vitesse de convergence et donnons une méthode de simulation numérique. Le chapitre 7 est un panorama des travaux existants sur la discrétisation des équations différentielles stochastiques. Sans prétendre être exhaustif, nous présentons au contraire une relecture des travaux existants dans l'optique de la simulation numérique. Enfin le chapitre 8 s'attache à quelques questions ou problèmes non résolus qui représentent un intérêt évident pour les applications. Nous suggérons pour chacune de ces questions quelques commencements de réponse