Études de problèmes aux limites non linéaires de type pseudo-parabolique

Période de these : de 1 octobre 2007 à 14 septembre 2010The aim of this work is to study the general nonlinear pseudo parabolic problem: find a real valued measurable function $u$ on $Q:=]0,T[\times \Omega$ solution to \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{l@{\quad}l} f\left(t,x,u_t\right)-Div \left\{a\left(x,u,u_t\right)\nabla u+b\left(x,u,u_t\right)\nabla u_t \right\}=g(t,x), \; (t,x)\in Q, \\ u(x,t)=0,\; (t,x)\in ]0,T[\times \partial \Omega, \\ u(0,x)=u_0, \; x\in \Omega,\\ \end{array} \right. \end{equation*} where the operator of Nemestki associated to the function $f$ is monotone.\\ In a first chapter, one shows the existence of a solution to the above problem by the way of the implicit time-semidiscretization. The existence of the solutions of the discretized equation is based on the Schauder-Tikhonov fixed point theorem and the convergence of the scheme on an adapted compactness argument. At the end of the chapter, one derives some applications to the equation of Barenblatt and to multivoque $f$. In a second chapter, one is interested in the pseudoparabolic problem of Barenblatt: find a real valued measurable function $u$ such that \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{l@{\quad}l} f\left(u_t\right(t,x))-\Delta u(t,x)-\epsilon \Delta u_t(t,x)=g(t,x), \; (t,x)\in Q, \\ u(x,t)=0,\; (t,x)\in ]0,T[\times \partial \Omega, \\ u(0,x)=u_0, \; x\in \Omega,\\ \end{array} \right. \end{equation*} where $f$ is not necessarily monotone.\\ For $\epsilon> \epsilon_0>0 $, where $\epsilon_0$ is a critical value, this problem is well posed by using similar arguments. For the critical value, the problem admits at most a solution. Then, the solution exists with some more assumptions on $f$. When $0 \epsilon_0>0 $, où $\epsilon_0$ est une valeur critique, on montre que le problème est bien posé en utilisant une méthode similaire à celle du premier chapitre. Pour la valeur critique de $\epsilon=\epsilon_0$, le problème admet au plus une solution ; cette dernière existe moyennant une hypothèse supplémentaire sur $f$. Enfin, si $0<\epsilon<\epsilon_0$, la solution n'est pas unique en général. On propose enfin d'une approche stochastique de l'équation pseudo-parabolique de Barenblatt-Sobolev. Le dernier chapitre propose des simulations numériques monodimensionnelles ; notamment, on s'intéresse à la perturbation singulière pseudo-parabolique lorsque la diffusion moléculaire change de signe