Observations bruitées d'une diffusion. Estimation, filtrage, applications.

Diffusion models observed with noise are widely used in biology and in finance, to take into account an measurement error in the observation of a continuous-time stochastic process. Two statistical questions are relevant for these models : the estimation of a parameter $\theta$ of interest involved in the hidden diffusion, and the computation of the optimal filter, or an approximation. The first part of this thesis deals with a bidimensional Ornstein-Uhlenbeck model partially observed with noise, linked with the estimation of microvascularization parameters for a stochastic pharmacokinetic model. Results on medical data are presented. The second part is devoted to the estimation of the parameters of the hidden diffusion with high-frequency data, by minimization of contrast functions based on local means of noisy observations. Consistency and asymptotic normality are proved for these estimators. The last part deals with the tightness of the sequence of asymptotic variances obtained in the central limit theorem for the particle filter.Les modèles aléatoires basés sur l'observation bruitée de diffusions discrétisées sont couramment utilisés en biologie ou en finance pour rendre compte de la présence d'erreur (ou bruit) entâchant la mesure d'un phénomène dont le comportement est dirigé par une équation différentielle stochastique. Deux questions statistiques sont liées à ces modèles : l'estimation d'un paramètre theta déterminant le comportement de la diffusion cachée, et le calcul du filtre optimal, ou d'une approximation. La première partie de cette thèse porte sur l'étude d'un modèle d'Ornstein-Uhlenbeck bidimensionnel partiellement observé et bruité, en lien avec l'estimation de paramètres de microvascularisation pour un modèle pharmacocinétique stochastique. Plusieurs résultats sur données médicales sont présentés. Dans la seconde partie, des estimateurs pour les paramètres de la diffusion cachée, sont obtenus dans un contexte de données haute fréquence, comme minima de fonctions de contraste ou comme zéros de fonctions d'estimation basées sur des moyennes locales d'observations bruitées. On montre en particulier la consistence et la normalité asymptotique de ces estimateurs. Enfin, la troisième partie étudie la tension de la suite des variances asymptotiques obtenues dans le théorème central limite associé à l'approximation particulaire du filtre et de la prédiction dans un modèle de Markov caché