Paths confined to a quadrant

The PhD thesis "Paths confined to a quadrant" deals with two different aspects of the walks with small steps (i.e. to the eight nearest neighbors) that are confined to a quarter plane. First, we study the combinatorics of counting the planar walks which, while moving according to a given step set, remain in a quadrant. We then concentrate on the following problems: - to make explicit the generating function of the numbers of such trajectories; - to analyse the fashion in which that series depends on the step set, and in particular its nature (rational, algebraic, (non-)holonomic). Second, we study the random walks with values in a quadrant, which are taken homogeneous inside and killed at the boundary. For these processes, we are interested in the following probabilistic problems: - to make explicit the absorption probabilities at a fixed time in a certain site of the boundary, and in particular the absorption probabilities in some point of the boundary; - to find the asymptotic behavior of these probabilities; - to make explicit the probabilities that the process, at a fixed time, is in a certain site belonging to the interior of the quadrant, and in particular the Green functions; - to compute the precise asymptotics of these Green functions along all trajectories; - to obtain all non-negative harmonic functions, as well as the Martin compactification; - to analyse the hitting time of the axes, and in particular evaluating its asymptotic tail distribution. The methods that we use in order to solve these problems are partially based on complex analysis.Les thèmes abordés dans le cadre de la thèse "Chemins confinés dans un quadrant" se concentrent autour des marches à petits sauts (c'est-à-dire aux huit plus proches voisins) confinées dans un quart de plan. Tout d'abord, nous considérons le problème combinatoire consistant à compter les chemins du plan qui, se déplaçant selon un ensemble fixé de sauts, restent dans un quadrant. Nous nous focalisons sur les questions suivantes : - expliciter la série génératrice des nombres de chemins partant de l'origine et se terminant en un certain point en un temps fixé ; - analyser la façon dont cette fonction dépend de l'ensemble de sauts, et en particulier étudier sa nature (rationnelle, algébrique, (non) holonome). Ensuite, nous examinons le problème probabiliste des marches aléatoires à valeurs dans un quadrant, homogènes à l'intérieur et tuées au bord. Nous nous intéressons alors aux questions suivantes : - expliciter les probabilités d'absorption en un certain point du bord en un temps fixé, et en particulier les probabilités d'absorption en un certain site du bord ; - trouver l'asymptotique de ces probabilités ; - expliciter les probabilités que le processus se trouve en un certain point intérieur au quadrant en un temps fixé, et les fonctions de Green ; - calculer l'asymptotique précise de ces fonctions de Green le long de toutes les trajectoires ; - obtenir toutes les fonctions harmoniques positives ou nulles ainsi que la compactification de Martin ; - analyser le temps d'absorption sur les axes, et notamment l'asymptotique de sa queue de distribution. Les méthodes que nous utilisons pour répondre aux questions ci-dessus font appel à l'analyse complexe